专题2.9 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】（举一反三）（苏科版）（解析版）.pdf

专题2.9绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】

【苏科版】

【题型1利用绝对值性质化简或求值】1

【题型2根据绝对值的非负性求值】3

【题型3根据绝对值的定义判断正误】5

【题型4根据绝对值的意义求取值范围】6

a

【题型5绝对值中的分类讨论之类型问题】8

|a|

【题型6绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】10

【题型7绝对值中的最值问题】12

【题型1利用绝对值性质化简或求值】

【例1】（2022•博湖县校级期中）已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．

【分析】分清a，﹣2b，3b﹣2a三个数的正负性是解决本题的关键．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝

0，可得出b≥0，

|ab|＝﹣ab，则a≤0，b＝﹣a．所以﹣2b＜0，3b﹣2a＞0，从而得出|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的值．

【解答】解：∵|a|＝b，|a|≥0，

∴b≥0，

又∵|ab|+ab＝0，

∴|ab|＝﹣ab，

∵|ab|≥0，

∴﹣ab≥0，

∴ab≤0，

即a≤0，

∴a与b互为相反数，即b＝﹣a．

∴﹣2b≤0，3b﹣2a≥0，

∴|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|＝﹣a+2b﹣（3b﹣2a）＝a﹣b＝﹣2b或2a．

【变式1-1】如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|

＝7．

【分析】根据绝对值的几何意义，将|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9转化为两点间的距离，进而可得

q、r两点间的距离，即可得答案．

【解答】解：根据绝对值的几何意义，由|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9可得

p、r两点间的距离为10，p、s两点间的距离为12，q、s两点间的距离为9，

则q、r两点间的距离为10+9﹣12＝7，

即|q﹣r|＝7，

故答案为7．

【变式1-2】已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝

0．

【分析】根据已知不等式确定出绝对值里边式子的正负，已知等式利用绝对值的代数意义化简，整理求

出a+b与c+d的值，代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，

∴a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，

∵|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，

∴﹣a﹣1＝b+1，1﹣c＝d﹣1，

整理得：a+b＝﹣2，c+d＝2，

则a+b+c+d＝0．

故答案为：0

【变式1-3】化简：

（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．

【分析】（1）就2x﹣1≥0，2x﹣1＜0两种情形去掉绝对值符号；

（2）将零点1，3在同一数轴上表示出来，就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论；

（3）由零点共有﹣1、1、3三点，就x≥3，1≤x＜3，﹣1≤x＜1，x＜﹣1四种情况进行讨论．

1

【解答】解：（1）①当x≥，原式＝2x﹣1；

2

1

②当x＜，原式＝﹣（2x﹣1）＝1﹣2x；

2

（2）①当x＜1，原式＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4﹣2x；

②当1≤x＜3，原式＝（x﹣1