专题2.9 二次函数中的十二大存在性问题（北师大版）（原卷版）.pdf

专题2.9二次函数中的十二大存在性问题

【北师大版】

【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】1

【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】3

【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】5

【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】7

【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】8

【题型6二次函数中菱形的存在性问题】11

【题型7二次函数中矩形的存在性问题】13

【题型8二次函数中正方形的存在性问题】15

【题型9二次函数中面积问题的存在性问题】17

【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】18

【题型11二次函数中角度问题的存在性问题】20

【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】22

【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】

=−+3

【例1】（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图甲，直线与轴、轴分别交于点、点，经

2

=++

过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；

03△

(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大

面积及点的坐标．

(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所

符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；

【变式1-1】（2023秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线=2+3+(≠0)与x轴交于点(−2,0)

和点B，与y轴交于点(0,8)，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称

轴l交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△的面积最大值；

(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△为等腰三角形？若存在，求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由．

2

=++3

【变式1-2】（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于(−1,0)，

(4,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作⊥轴于点

E，交直线于点Q．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求线段的最大值；

(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得△为等腰三角形？若

存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

2

【