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关于两堂“变化率问题”课的思考--第1页
关于两堂“变化率问题”课的思考
关于两堂“变化率问题”课的思考
人民教育出版社中学数学室王嵘
本次课题研讨会中安排的两节“变化率问题”课的教学设计差别
很大,出现的问题也不少,因此引发了很多争论。下面,就三个方面
谈谈对本课的思考。
1.教学内容的安排
在教科书中,“3.1变化率与导数”划分为两部分“3.1.1变化率
问题”和“3.1.2导数的概念”,建议4课时。教师甲的教学内容就是
“3.1.1变化率问题”,即平均变化率及其几何意义;教师乙的教学内
容是“3.1.1变化率问题”和“3.1.2导数的概念”中的瞬时变化率。研
讨的时候,大多数老师认为,教师乙的教学内容安排比较好,一是内
容比较丰满,二是展现了从平均变化率到瞬时变化率的完整过程。如
果教学设计做得好,那么从平均变化率到瞬时变化率会是一堂非常精
彩的课。因为,这个知识本身的内涵就很丰富,而且教学设计的变化
点也很多。相比之下,如果一堂课只是讲平均变化率及其几何意义,
似乎就会单薄、逊色很多,特别是公开课的时候。但是,如果放大这
两节课的一个共同点,即使只有平均变化率及其几何意义这个知识点,
这堂课也能收到满意的效果。这个共同点,就是两位老师不约而同都
提到的微积分的发展史,只是,他们对微积分发展史的介绍过于简单
和粗糙,上完课,学生可能对此一点印象都没有留下。
我们总是说,要让学生接受数学文化的熏陶、体会数学的价值,
但是在课堂上,却做得很少。像微积分这样有文化底蕴的数学内容,
为什么不抓住这绝好的时机介绍它的发展史呢,更何况是在引入微积
分的时候。在这里,发展史的介绍不仅仅是文化上的熏陶,还有更多
的作用,比如了解微积分的概貌及其在数学中的位置;相关数学家的
工作,既能让学生看到智慧之光,又能让学生从两千年的艰辛历程中
明白即使在学习中有些困惑疑难也并不奇怪,坚持思考是通向成功之
门的钥匙;有关微积分起源的具体例子的列举,像计算抛物线弓形的
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面积(建筑物的上顶)、求速度的问题(高台跳水)等,会引发学生
的求知欲。所以,精心组织微积分发展史的素材,融入到本课教学内
容中,应该是微积分起始课的“当然任务”。
在教学设计中需要注意,历史的介绍应该是生动有趣的,有中心、
有问题、有事例、有思考等。例如,微积分起源于四类问题,如果用
具体的例子进行说明,学生就会比较有感觉,而不会太空洞,像起源
问题之一的运动速度就可以选用教科书中的高台跳水例子辅助说明。
同时,借助于这个例子还可以从历史的介绍自然地过渡到变化率的学
习上,如此一来,历史的介绍和数学知识的学习就结合为一个整体。
在这种设计下,也不必顾虑是否这节课的数学知识太少了,因为并不
是每一堂数学课都要有那么紧凑的数学知识,不同类型的数学课承担
的作用应该有所不同,像微积分的起始课,就应该承担起以上所说的
那些作用。
2.气球膨胀率的问题
气球膨胀率和高台跳水是变化率问题中的两个例子,由它们抽象
概括出了平均变化率的数学定义。比较一下这两个例子,高台跳水体
现了微积分中的经典问题即速度问题,而且教科书直接给出了高度和
时间的函数关系式,学生对速度问题又很熟悉,所以这个问题是比较
简单的;气球膨胀虽然也是学生非常熟悉的生活现象,但是从这种直
观的生活感知(气球越来越难吹)到它的数学描述,是很不容易的,
因此,这个问题是比较困难的。这一点,从这两堂课也可以得到印证。
不过,如果
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