精品解析：北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docxVIP

2023-2024学年北京首都师大附中高二（上）期中

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1.已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）

A. B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出渐近线的方程，由点得，又即可求解.

【详解】易知双曲线的渐近线方程为，由渐近线经过点，可得，

故离心率为.

故选：D.

2.“”是“直线和直线平行”的（）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由两直线平行求得的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】若直线与直线平行，

则有，解得或，

而当时，直线与直线重合，舍去，

所以，直线与直线平行，

所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.

故选：A.

3.已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（）

A. B. C. D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.

【详解】由题设且半径，弦长，

所以到的距离，

即，可得

故选：B

4.点到直线的距离最大时，直线的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程.

【详解】由直线的方程整理可得：，

可得直线恒过定点，所以，

当时，到直线的距离最大，

可得直线的斜率为，即，

所以直线的方程为，

即．

故选：．

5.已知圆关于直线对称，过点作圆C的两条切线和，切点分别为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】圆心在直线上，求出，利用切线算出的长度，再利用等面积法即可的.

【详解】圆心在直线上，解得，因此，，

，

,

故选:D

6.如图，椭圆的左，右焦点分别是，，正六边形的一边的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设的中点为，连接，，则可得，再利用余弦定可求出，然后结合椭圆的定义列方程可求出离心率

【详解】设的中点为，连接，，

则，，，

因为，

所以，

在中，由余弦定理得

，

所以，

因为，所以，

所以，

故选：B

7.两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（）

A.曲线关于y＝x对称

B.曲线关于原点对称

C.曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积

D.曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积

【答案】D

【解析】

【分析】在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断A的正误；在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断B的正误；比较曲线与直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断C的正误；曲线与圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断D的正误.

【详解】A．在曲线上任取一点，则，

点关于直线的对称点为，且，

所以曲线关于对称，故A正确；

B．在曲线上任取一点，则a4+b4＝1，

点关于原点的对称点为，则，

所以曲线关于原点对称，故B正确；

C．对于等式，可得，同理可得，

当时，，当时，，

在曲线上任取一点，

则，即点在直线的下方，如下图所示．

直线交x轴于点，交y轴于点，

所以，故C正确；

D．在曲线上任取一点，

因为，，则，，

则，即点圆外，如下图所示．

圆在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为，

所以，故D错误．

故选：D．

8.已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由，得到，设的中点，根据恒为锐角，转化为以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，

因为，为弦的中点，可得，

又由两动点在直线上，且，

设的中点，当在圆上运动时，且恒为锐角，

可得以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，

则，即，解得或，

所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.

故选：A.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于_____．

【答案】8

【解析】

【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可.

【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为，

可得＝，解得m＝8．

故答案为：8．

10.如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：＝