专题2.9根与系数的关系大题专练（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】.pdf

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】

专题2.9根与系数的关系大题专练（重难点培优）

班级：___________________姓名：_________________得分：_______________

注意事项：

本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴

题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的

名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共30小题）

1．（2022秋•临海市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣5m2﹣3＝0．

（1）当m＝1时，试求出该方程的解；

（2）求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．

【分析】（1）把m＝1代入方程计算即可求出解；

（2）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证．

【解答】（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣8＝0，

分解因式得：（x+2）（x﹣4）＝0，

所以x+2＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝4；

（2）证明：方程x2﹣2mx﹣5m2﹣3＝0，

222

Δ＝（﹣2m）﹣4（﹣5m﹣3）＝24m+12，

∵m2≥0，

2

∴Δ＝4m+12＞0，

∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．

2

2．（2022春•西湖区期末）已知一元二次方程x+bx﹣2＝0．

（1）当b＝1时，求方程的根．

（2）若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．

2

【分析】（1）将b＝1代入方程x+bx﹣2＝0，利用因式分解法即可求出方程的根；

2

（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝b+8＞0，由此即可得知：若b为任意实数，方程总

有两个不相等的实数根．

2

【解答】解：（1）当b＝1时，原方程为x+x﹣2＝0，

分解因式得，（x+2）（x﹣1）＝0，

x+2＝0，或x﹣1＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝1；

（2）若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，理由如下：

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∵Δ＝b﹣4×1×（﹣2）＝b+8＞0，

∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．

3．（2022春•余姚市期末）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．

（2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；

（2）依题意有Δ＝0，则k＝3，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．

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【解答】（1）证明：Δ＝（k+3）﹣4×3k＝（k﹣3）≥0，

故不论k取何实数，该方程总有实数根；

2

（2）解：依题意有Δ＝（k﹣3）＝0，则k＝3，

将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．

解得x1＝x2＝3．

故△ABC的周长是2+3+3＝8．

4．（2022春•萧山区期中）已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x＝1；