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初中数学知识归纳平行四边形的高与角平分

线

初中数学知识归纳：平行四边形的高与角平分线

平行四边形是初中数学中的基础概念之一，它具有许多性质和特点，

其中包括高与角平分线的关系。本文将就平行四边形的高和角平分线

进行归纳和说明。

一、平行四边形的基本知识回顾

平行四边形是指有四边的四边形，且对边是平行的。平行四边形具

有如下性质：

1.对边平行：平行四边形的对边是两两平行的。

2.对角相等：平行四边形的对角线互相等长。

3.相邻角补角：平行四边形的相邻内角和为180度。

二、平行四边形的高

在平行四边形中，我们可以定义一条线段，该线段与两个不相邻的

边垂直相交，并将两个边分为两个有公共顶点的线段。这条线段被称

为平行四边形的高。

三、高的性质

1.高的长度相等：平行四边形的高等长。

证明：设平行四边形ABCD的高分别与边AB和CD相交于点E和

F，则根据垂直线段的性质，AE⊥AB，CF⊥CD。由于AB∥CD，

根据平行线性质，得到AE∥CF。因此，△ABE与△DCF是等腰三角

形，所以AE=CF。

2.高与邻边长度的关系：高等于邻边长度的乘积。

证明：设平行四边形ABCD的高与边AB和CD相交于点E和F，

则由高的定义可知AE⊥AB，CF⊥CD。我们来比较△ABE和△DCF：

根据三角形高的定义，BE为△ABE的高，DF为△DCF的高。

由性质1可知AE=CF，因此△ABE与△DCF的高相等。

而由于△ABE与△DCF的底边AB和CD分别平行且等长，所以它

们的面积相等。

根据△面积公式，面积=底边×高/2，可得：△ABE的面积=

△DCF的面积。

设邻边的长度分别为b和d，则根据面积公式，有：b×BE/2=d×

DF/2。

化简得：BE=d/b×DF。

由于△ABE与△DCF的高相等，所以BE=DF。

因此，d/b×DF=DF，化简得：d=b。

综上所述，平行四边形的高具有两个重要性质：高的长度相等，高

等于邻边长度的乘积。

四、平行四边形的角平分线

在平行四边形中，我们可以定义一条线段，该线段从平行四边形的

一个顶点出发，将与该顶点相邻的两个角平分成两个相等的角。这条

线段被称为平行四边形的角平分线。

五、角平分线的性质

1.角平分线相交于高的中点。

证明：设平行四边形ABCD的角A和角B被角平分线AC和BC平

分成两个相等的角。那么由于角A和角B相等，所以角ADC=角

BCD。

根据平行四边形的定义，对边AD∥BC，并且角ADC=角BCD。

所以△ADC与△BCD是全等三角形。

根据全等三角形的性质，AD=BC。

而AC和BD分别是△ADC和△BCD的高，根据性质1可知AC=

BD。

由此可见，角平分线AC和BC相交于高AD和BC的中点。

2.角平分线分割对边成比例。

证明：设平行四边形ABCD的角A和角B被角平分线AC和BC平

分成两个相等的角。那么由于角A和角B相等，所以角ADC=角

BCD。

根据平行四边形的定义，对边AD∥BC，并且角ADC=角BCD。

所以△ADC与△BCD是全等三角形。

因此，△ADC和△BCD的相应边分别成比例，即AD/BC=DC/

CD。

由于对边平行，所以BC=AD，化简得：1=DC/CD。

因此，根据比例的性质，AD/DC=BC/CD。

综上所述，平行四边形的角平分线具有两个重要性质：相交于高的

中点，分割对边成比例。

结论：

平行四边形的高与角平分线分别具有一些重要的性质。高的长度相

等，且等于邻边长度的乘积；角平分线相交于高的中点，且分割对边

成比例。这些性质在解决平行四边形相关的问题时具有重要的应用价

值。通过对这些性质的归纳和理解，可以更