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全国2022年六年级数学上册竞赛试卷试卷

带解析及答案

解答题

有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m－1）

只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？

【答案】能

【解析】

当m是奇数时，（m－l）是偶数。如果每次翻转偶数只杯子，那么无

论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一

开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻

转（m－1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永

远是奇数，不可能全部朝上。

当m是偶数时，（m－1）是奇数。为了直观，我们先从m=4的情形

入手观察，在表1中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转

3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如表1。

表1

初始状态

第一次翻转

*

第二次翻转

*

第三次翻转

*

第四次翻转

*

由表1看出，只要翻转4次，并且依次保持第1、2、3、4只杯子不

动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，

需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇

数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做

到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子

不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转

了（m-1）次。

m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻

转多少次，m只杯子都不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，

翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。

答：经过若干次翻转，能使杯口全部朝上。

解答题

图1是半张中国象棋盘。棋盘上已放有一个棋子“马”。

众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张

棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

【答案】不能

【解析】

为方便研究，如图2所示先在棋盘各交点处相间标上○和●。图中共有

22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，

所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的

点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，跳偶数步，可是棋

盘上共有23+22＝45（个）点。故这只“马”不可能做到不重复地走遍

所有的点后回到出发点。

解答题

能否把1，l，2，2，3，3，…，10，10这20个数排成一行，使两个

1之间夹这20个数中的一个数，两个2之间夹这20个数中的两个

数……两个10之间夹着这20个数中的10个数？

【答案】不能

【解析】

假设已按题目要求排成一行，并按1，2，3，…，20编号。则任何两

个相等的偶数之间要插入偶数个数，则这两个偶数的序号的奇偶性是

不同的；而任何两个相等的奇数之间要插入奇数个数，则这两个奇数

的序号的奇偶性相同；进而进行分析，即可得出结论．

解：假设存在某种排列，满足条件．我们把这20个数从左向右按1，

2，3，…，19，20编号，则任何两个相等的偶数之间要插入偶数个数，

则这两个偶数的序号的奇偶性是不同的；而任何两个相等的奇数之间

要插入奇数个数，则这两个奇数的序号的奇偶性相同．这20个数中

有5对偶数（每对两数均相等），它们占去5个奇编号和5个偶编号；

还有5对相等的奇数，它们中奇序号的个数一定是偶数．而在20个

数中奇序号和偶序号各有10个，所以这5对相等的奇数中，奇序号

个数只能是5个（因为5对偶数已占去了奇序号）．5是奇数，奇数≠

偶数，所以不能实现．

解答题

已知a、b、c中有一个是1997，一个是1998，另一个是1999，试判

断（a-1）×（b-2）×（c-3）的奇偶性。

【答案】是偶数

【解析】

（1）三个已知数中有一个偶数，两个奇数，那么对a来说，就有两

种可能：a为奇数或a为偶数。

（2）如果我们判断出各个因数全为奇数，那么其积为奇数；因数中

如果有一个是偶数，那么其积为偶数。三个因数如果全为奇数，那么

三个因数的和应为奇数。我们可以计算三个因数的和，看看是奇数还

是偶数。

解法一：（1）如果a为奇数，那么a－l为偶数，乘积也为偶数；

（2）如果a为偶数，因为三个已知数中只有一个偶数，所以此时b，

c均为奇数