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平面向量的坐标运算〔典型例题〕

[教学重点]理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系；掌握平面向量的加法、

减法、实数与向量积的坐标运算法那么；能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标.

[教学难点]理解平面向量的坐标表示是几何问题代数化的根底，将求解的几何图形问题，

放置在直角坐标系下，通过向量的坐标运算到达求解的目的，是本章内容的重要思想方法和具体

应用.

[典型例题]

例1、A、B、C、D是平面直角坐标系中任意位置上四个不同点，求

证:.

解:设A、B、C、D四点的坐标分别为(x,y),(x,y),(x,y),(x,y)，那么由向量的坐标表示

11223344

可得:

再由向量和的坐标运算得

例2．ΔABC内一点G，使得，D是

BC中点，求证:点G是ΔABC的重心，且.

解:如下图建立直角坐标系:

设A(x,y),B(x,y),C(x,y),G(x,y)

112233

那么

由

∴即

∴

即(x-x,y-y)=(x+x-2x,y+y-2y)∴x-x=x+x-2x,y-y=y+y-2y

112323123123

∴x+x=3x-x,y+y=3y-y

231231

由

∴

∴

即

将x+x=3x-x,y+y=3y-y代入∴∴

231231

即，且必有∴A、G、D三点共线，即中线AD过G点.

同理可证AC、AB边上中线也必过G点.故G是ΔABC的重心.

例3．设向量，假设

，求使成立的实数λ和x的值.

解:由向量的坐标运算法那么

∵∴

∴由∴，

即.

例4．如图，直角ΔABE的直角边为AB、AE，以AB、AE为边在ΔABE外部作正方形ABCD

和正方形AEFG，连结CE交AB于N点，连结BF交AE于M点，证明AM=AN.

解:此题除了用平面几何的方法求证，可用平面向量知识及运算求证.

如图建立坐标系设AE边长为a，AB边长为b,那么E(a,0),B(0,-b),F(a,a),

C(-b,-b).

设M(x,0),N(0,y)

那么，

∵，∴ab-(a+b)x=0

∴,即，

由，且，

2

∴(a+b)(y+b)-b=0,∴,

即，∴

，

∴AM=AN.

课外练习：

1．假设点P(2,3),Q(3,a),R(4,b)共线，那么有〔〕.

A、a=4,b=5B、b-a=1C、2a-b=3D、a-2b=3