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初中数学所有函数的知识点总结

初中数学全部函数的学问点总结

课题

3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数

教学目标

1、把握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和

性质2、会用待定系数法确定函数的解析式

教学重点

把握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

教学难点

把握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

教学方法

讲练结合法

教学过程

（I）学问要点（见下表：）

第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx（k0）0x反比例

函数一次函数ykxb（k0）0x二次函数yax2bxc（a0）y0xy0xky（k0）

xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点（0，0）及（1，k）的直线

双曲线，x轴、y轴是它的渐近线与直线ykx平行且过点（0，b）的直线

抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时，y,4aR值域R4acb2a0时，

y,4aba0时，在－,上为增2a函数，在,－单调性k0时，在,0，k0时为增

函数0,上为减函数k0时，为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时，

在,0，k0时，为减函数0,上为增函数ba0时，在－,上为减2a函数，在,

－b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且

x－ymin最值无无无b时，2a24acb4ab时，2a24acb4aa0且x－ymax

第三章第30页b24acb2注：二次函数yaxbxca(x

（a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x，顶点(，)

2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m，0)，(n，0)（II）例题讲解

例1、求满意以下条件的二次函数的解析式：（1）抛物线过点A（1，

1），B（2，2），C（4，2）（2）抛物线的顶点为P（1，5）且过点Q（3，3）

（3）抛物线对称轴是x2，它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物

线过点（1，7）。2，

解：（1）设yax2bxc(a0)，将A、B、C三点坐标分别代入，可得方程

组为

abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2（2）设二次函数为ya(x1)25，

将Q点坐标代入，即a(31)253，得

a2，故y2(x1)252x24x3

（3）∵抛物线对称轴为x2；

∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x2对称；∴由题设条件可得

两个交点坐标分别为A(2∴可设函数解析式为：ya(x2代入方程可得a1

∴所求二次函数为yx24x2，

2，0)、B(222，0)

2)(x22)a(x2)22a，将（1，7）

5)，例2：二次函数的图像过点（0，8），(1，（4，0）

（1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间（2）当x

取何值时，①y≥0，②y（2）由y0可得x22x80，解得x4或x2由y0可

得x22x80，解得2x4

例3：求函数f(x)x2x1，x[1，1]的最值及相应的x值

113x1(x)2，知函数的图像开口向上，对称轴为x

224111]上是增函数。∴依题设条件可得f(x)在[1，]上是减函数，

在[，22131]时，函数取得最小值，且ymin∴当x[1，24131又∵11

222解由yx2∴依二次函数的对称性可知f(1)f(1)

∴当x1时函数取得最大值，且yma