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广西“飞天”校际2024?2025学年高三上学期7月考试数学试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.复数z满足:,(????)
A.2 B. C.1 D.
2.能正确表示图中阴影部分的是(????)
??
A.B. C. D.
3.,是两个不共线的单位向量,,,,下列正确的是(????)
A. B. C. D.
4.红黄蓝三种不同颜色的小球各两个,分别放置在正八面体的6个顶点上,共有几种不同的放置方法(????)
A.7 B.8 C.4 D.5
5.在三子棋游戏(规则同五子棋,三子连成一线即可获胜)中,两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子(用A和B表示,A先下),某时刻战况如图,则A能获胜的概率为(????)
A
B
A
B
B
A
A. B. C. D.
6.四面体中,其余各棱长均为,则该四面体外接球的表面积是(????)
A. B. C. D.
7.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则(????)
A. B.2 C. D.4
8.已知函数,则(????)
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.已知曲线:,,则(????)
A.与有唯一交点 B.与有唯一交点
C.与联立恒得两组整数根 D.与相交得到的弦,长恒为
10.在集合中取连续k项作为一组数据,下列正确的是(????)
A.k为奇数时,平均数 B.k为奇数时,平均数
C.k为偶数时,方差不一定 D.k为偶数时,方差一定
11.数列满足,,则下列正确的有(????)
A.数列是递增数列 B.
C.恒成立 D.恒成立
三、填空题(本大题共3小题)
12.随机变量,则.
13.记双曲线的左右焦点分别为,分别过和坐标原点O作直线m,n,且,记到m,n的距离分别为,,则,若n是C的渐近线,则当取最小值时,.
14.设定义域为R的函数对任意的实数a,b均有,且,若实数t使得恒成立,t的取值范围是.
四、解答题(本大题共5小题)
15.在中,,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求;
(2)当,时,求的面积.
16.点A,B分别是椭圆的上顶点和左顶点,P是椭圆上一动点(不与右端点重合),P的横坐标非负,的中点是M,当P位于下顶点时的面积为1,椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)记的面积为,的面积为,求的最小值.
17.已知,,,.
(1)求在处的切线方程;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
18.在直三棱柱中底面是正三角形,底面边长为3,侧棱长未知,分别是,的中点,是直三棱柱表面上的一点,且P到底面的距离为.当平面时,当P在平面中时,到的距离为.
(1)求直三棱柱的侧棱长;
(2)当P到的距离为1时,求二面角的余弦值;
(3)P每次移动都移动1个单位,从上出发顺时针移动的概率为,逆时针移动的概率为,一旦走完一圈便不再移动,与平面的夹角为,求第n次移动后的概率.
19.数列是正项递增数列,由数列中所有项构成集合A,它的任意一个子集记为,定义集合B是每一个子集中的所有数之和(即分别写出1个数,2个数,……n个数之和).
(1)若,写出,以及集合B;
(2),将集合B中的元素分成n组,要求每组中最大项与最小项之比不超过2,证明一个符合题意的分组;
(3),将集合B中的元素分成n组,要求与(2)相同,证明存在这个分组.
参考答案
1.【答案】C
【分析】设,利用可得答案.
【详解】设,,
因为,所以,可得,
所以.
故选C.
2.【答案】A
【分析】由集合的交并补运算即可得解.
【详解】图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素,对比选项可知,只有A符合题意.
故选A.
3.【答案】D
【分析】根据数量积的运算公式判断A,B项,再根据向量模的不等式,判断C,D项.
【详解】设,
,
,
,
,
则不是定值,所以A,B项错误;
,因为,是两个不共线的单位向量,
所以,即.
故选D.
4.【答案】D
【分析】列举法可得答案.
【详解】如图,用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色,
所以共五种.
故选D.
5.【答案】B
【分析】由互斥加法公式、独立乘法公式即可求解.
【详解】A能获胜的情况有三种:
第一种:
A
B
A
B
B
A
A
;
第二种:
A
B
A
B
A
B
A
;
第三种:
A
B
A
B
B
A
A
;
所以所求概率为.
故选B.
6.【答案】C
【分析】设、分别是,的中点,易得,,求出,问题转化为:上是否存在一点,使得即可,设,则,利用勾股定理求出,进而求出外接球的半径,根据球的表面积公式即可求解.
【详解】如图,设、分别是,的中点,
连接、、、,
由四面体中,,其余各条棱长均为,
所以,,
由、分别是,的中点,
所以,
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