2025届高三天枢杯第二届线上联考 数学试题（含解析）.docx

第二次天枢杯线上联考一试

数学

本试卷共5页，20题．全卷满分150分，考试用时120分钟，

注意事项：

1．填空题，主观题请自备答题纸．并将答案提交到对应的答题区．请保持字迹工整．笔记清晰．字迹不清，提交错误的作答视为无效．

2．考试期间，请考生独立作答，禁止考生查网书籍、使用计算器等辅助工具、或在考试期间与他人交流．试卷在考试期间禁止外传，考试结束后可以外传，但最好留下作者名称skyhgzsh．

3．请使用高中课内知识答题，课外“超钢”知识请在答题纸上给出相应定理的证明，如果题目中不涉及复数的相关内容，则默认范围为实数．自然数默认包含，正整数用表示，不建议使用如“趋近于，足够大”等模棚性词语

4．考试结束后．请在规定时间内以雨课堂或QQ私信（QQ的途径，将答题纸以电子版，照片或扫描的方式在府课章的相应位置处提交，未在规定时间内发送的卷子视为未提交，不计人成绩．

5．本比赛的最终解释权归作者所有．考试期间如对试卷内容等方面有问题，请先通读试题内容，如仍有疑间，请私信作者．

6．题目顺序不代表难度，部分题目可能难度较高！

7．已知：若均为非负实数，则．取等当且仅当

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（）

A．，，，

B．

C．

D．或

2．设复数，．那么如下说法中错误的是（）

A． B．在第二象限

C．若，那么 D．

3．称数列和“同增减”，如果，那么以下说法中正确的是（）

A．两个单调递增数列和是同增减的

B．和任意数列有和同增减

C．和任意数列有和同增减

D．和任意正数数列有和同增减

4．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（）

A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离），那么必然有

B．到直线的距离不是定值

C．和没有交点

D．三角形面积的取值范围是

6．如下图所示，边长为的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构．和等部分金属就属于这种结构．若将原子认为是如此分布的等大实心球，使得最近的两个原子球恰好相切，那么一个边长为的面心立方正方体品格内被原子球所占据的部分的体积是（）

A． B． C． D．

7．仍然考虑上面的图形，若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（）

A．3 B．6 C．9 D．12

8．已知：，，，那么三者的关系是（）

A． B． C． D．

9．不是方程的解的选项是（）

A． B． C． D．

10．我们称两个正整数和互素，当且仅当和的最大公因数是1，我们定义是小于：的正整数中和互素的数的个数，例如．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（）

A．有无限多个正整数使 B．有无限多个正整数使

C．的解只有1和2 D．对于任意正整数，都有使得

二、填空题：本题共5小题．每小题6分，共30分

11．定义．那么在上的取值范围是______．

12．已知在平面上和单位圆交于那么的可能取值是函数的定义见上）______．

13．若，的解从小到大排成那么若．则的整数部分是______．

14．已知三角形中是直角，，若当变化时的最小值是．那么的可能取值是______．

15．定义，那么以下说法正确的有（填序号）______．

A．

B．除了以外，都是奇数

C．对于任章的n，

D．以，，为三边的三角形是直角三角形

三、解答题：本题共5小题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．

16．（13分）

信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们可以度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的概念在信息学和通信领城用处颇多，若有一系列基本事件，以作为随机变量，则这些事件可以分别认为是，．则对于这些基本事件的总体的熵，我们用公式计算．

（1）求抛一面质地均匀的六面骰子的熵

（2）假设一枚硬币，其抛出正面的概率是，请计算当取值为何时其熵最大

（3）在上一问中，假设．若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串（如“0”、“11011”、“1010110”传递给，并满足以下条件：

·A和B事先商量好个对应法则

·A连续3次抛掷该硬币，将这三次的正反面通过对应