考点33复数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）（教师版） 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）.pdf

考点33复数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓

展冲刺练）

【考试提醒】

1.通过方程的解，认识复数.

2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

【知识点】

1．复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的

虚部，i为虚数单位．

(2)复数的分类：

复数z＝a＋bi(a，b∈R)

实数＝，

b0

{虚数≠当＝时为纯虚数

b0a0.

(3)复数相等：

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：

a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模：

→

向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，

b∈R)．

2．复数的几何意义

一一对应

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．

→

一一对应

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.

3．复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

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①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

12

②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

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③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

12

z1a＋bia＋bic－diac＋bdbc－ad

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋dic＋dic－dic2＋d2c2＋d2

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．

→—→

如图给出的平行四边形OZZZ可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋

12

—→—→—→—→

OZ，ZZ＝OZ－OZ.

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常用结论

1＋i1－i

2

1．(1±i)＝±2i；＝i；＝－i.

1－i1＋i

2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．

3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．

5．复数z的方程在复平面上表示的图形

(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z－(a＋bi)|＝r(r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆

【核心题型】

题型一复数的概念

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，

只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．