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3.3幂函数
1、掌握幂函数的定义;
2、掌握幂函数的图像与性质;
3、能够利用所给条件求幂函数解析式。
前面学习了函数的概念,利用函数概念和对函数的观察,研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.
问题1:请观察(1)—(5)中的函数解析式,讨论它们有何共同特征.
观察:表达式的结构有什么特点?
1.指数为常数.
2.底数是自变量,自变量的系数为1.
3.幂xα的系数为1.
4.只有1项.
考点1:幂函数的概念
大本[例1]下列函数:
①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.
其中幂函数的个数为()
A.1B.2C.3D.4
[解析]由幂函数的概念可知,只有①⑤是幂函数.
B
y=xα
-1
试一试!
思考1:我们已经学习过函数的哪些性质?
思考2:根据以往学习函数的经验,结合着函数图象,来找一找这5个函数的“异同”点.
思考3:观察5个函数图象,哪个象限一定有幂函数的图象,哪个象限一定没有幂函数的图象.
大本[例2]下图是幂函数y=xm,y=xn与y=x-1在第一象限内的图象,则()
A.-1n0m1B.n-1,0m1
C.-1n0,m1D.n-1,m1
B
[解析]由y=xm的图象是横卧抛物线形,知0m1;
由y=xn的图象是双曲线,知n0.
作直线x=x0(0x01),与y=xn,y=x-1的图象
分别交于点A,B,由“点低指数大”知n-1.
第二步:求幂函数的定义域.幂函数在第二或第三象限内是否有图象取决于定义域.
第三步:若幂函数图象在y轴左侧存在,则直接研究函数的奇偶性,据此画出y轴左侧的图象.
D
考点3:幂函数的性质
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在(-∞,
+∞)上单
调递增
在(-∞,0]
上单调递
减,在(0,
+∞)上单调
递增
在(-∞,
+∞)上单
调递增
在[0,+∞)
上单调递增
在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减
(2)判断并证明函数f(x)=x3的单调性.
(2)判断并证明函数f(x)=x3的单调性.
(2)判断并证明函数f(x)=x3的单调性.
{x∈R|x≠0}
(-∞,-2]∪[2,+∞)
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
无限
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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