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几何学发展简况

“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。“几何”

这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。

几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似

的。在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、

窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间

位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。

正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些知识

是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何

知识之上的。

几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古代中

国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。

大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远

古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体

积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。

几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前

的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内

容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贡献。

柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系

统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何

中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推

理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论

的形式来进行推理。

但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系

统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。

欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬

的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时

所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门

有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。

《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在

这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。

也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学

方法的学科。

欧几里得的《几何原本》

欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的

大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变

成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第

五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。

从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何

原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科

书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。

《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内

容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。《几何原本》第一卷列有23个定义，5条

公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几

何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）

这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依

据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。

都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设

所