广东省肇庆市第一中学2025届高三上学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

肇庆市第一中学2024-2025学年第一学期

高三数学开学考（文字版|含答案）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（????）

A． B． C．0,1 D．2,3

2．复数的虚部为（????）

A． B． C． D．2

3．已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，则不等式的解集是

A． B． C． D．

6．已知函数，若，则（????）

A． B．1 C．-5 D．5

7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（????）

A． B． C． D．

8．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9．下列说法正确的有（????）

A．不等式的解集是

B．“，”是“”成立的充分条件

C．命题：，，则：，

D．“”是“”的必要条件

10．已知，且，则（????）

A．的最小值是 B．最小值为

C．的最大值是 D．的最小值是

11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（????）

A．函数关于直线对称

B．4是函数的周期

C．

D．方程恰有4不同的根

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．计算：的值是．

13．已知函数，函数为一次函数，若，则.

14．若函数，则使得成立的的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．已知函数．

(1)求曲线y=fx在点1,f

(2)求函数在区间上的最小值．

16．已知函数，其中．

(1)若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；

(2)解关于x的不等式．

17．已知函数.

(1)解关于的不等式；

(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

18．已知函数是定义域为上的奇函数.

（1）求的值；

（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；

（3）若在上的最小值为，求的值.

19．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求证；

(3)若有两个零点，求的取值范围．

1．A

【分析】图中阴影部分表示的集合为，根据交集、补集的定义计算可得.

【详解】因为，，

所以，

所以，

即图中阴影部分表示的集合为.

故选：A

2．D

【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.

【详解】，故该复数的虚部为2.

故选：D.

3．B

【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．

【详解】命题为真命题等价于不等式有解．

当时，不等式变形为，则，符合题意；

当时，，解得；

当时，总存在，使得；

综上可得实数的取值范围为．

故选：B

4．D

【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.

【详解】分离参数得，

要使对任意，不等式恒成立，只需.

又因为，令，

由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，

又，所以，

所以，所以.

故选：D

5．A

【详解】依题意得，选A．

6．A

【分析】构造函数，证明其为偶函数，据此可得解.

【详解】设，

则，

所以，即，

所以.

因为，所以.

故选：A

7．C

【分析】由fx为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解.

【详解】由为幂函数，所以，得，所以，

对A：当时，，，故A错误；

对B：，，故B错误；

对C：，，故C正确；

对D：，，故D错误；

故选：C.

8．B

【分析】函数恰有2个零点，转化为直线与的图象有两个交点，作出函数的图象及直线观察它们交点个数，对函数要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率．

【详解】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.

当，

故在处的切线方程为.

当，同理可得在处的切线方程为.

当，

设切点为，其中，则过该点的切线方程为，

代入，得，故过的切线方程为.

可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.

此时

故选：B

【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．

9．BD

【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得.

【详解】对A：，

解得，即其解集为，故A错误；

对B：若，，则，

故“，”是“”成立的充分条件，故B正确；

对C：，的否定为，，故C错误；

对D