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第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分
问题举例1.曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、轴以及
两条直线、所围成,求其面积.①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分
点，用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的
面积;②．常代变(近似代替)：在第个窄曲边梯形的底上任取，有.③．近
似和(求和)：④．取极限：令，则
2.变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连
续，且，求在运动时间内物体所经过的路程①．大化小(分割)：在区间
内任意插入个分点，将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程;
②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有.③．近似和
(求和)：④．取极限：令，则这两个具体
问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的
极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念.二、定积分的相
关概念1．定积分:设函数在区间上有界，若在区间内任意插
入，任取，记，只要和式极限总存在，则称此极限为在上的定
积分,记作，即，
此时也称在区间上黎曼可积.注：1°.引例中，曲边梯形的面积；路程
2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无
关,即3°.在定积分定义中，要求积分
上限大于积分下限，为了方便起见，规定：当时，；当时，.
4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数并
不能保证(不等分的时候，当等分的时候5°.若已知在上可积，则可以
通过特殊的分法分割区间(例如等分)(例如取或)来计算定积分
2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”.3.函数可积的条件(1).必
要条件：定理1.若在上可积，则在上有界反之未必，例如：狄利
克雷函数在上有界，但不可积,分和的极限不总存在.(2).充分条件：
定理2.若在上连续，则在上可积反之未必，例如在上可积，但在
上有一个间断点定理3.若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上
可积.定理4.若在上单调且有界，则在上可积.例1.利用定
义计算定积分解：将区间进行等分,分点为则，于
是，，取，，
所以例2.用定积分表示下列极限1..2..
三、定积分的性质(设所列定积分都存在)1.线性性质1.
(k为常数)性质2.2.积分区间的
可加性性质3.设，则有3.保序性性质4.若
在，，则性质5.若在
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