单原因减员模型及死亡率的确定课件.pptVIP

2.統計公式(1年的觀測期間)3.統計公式(T年觀測期)4.初始歷險數的計算單原因減員模型及死亡率的確定第一節單原因減員模型一、二項型模型(一)假設①人口總體最初的人數為P個，觀測期為一年。②在這一年中任何一個人死亡的概率是q。③死亡的發生與否是獨立的。參數q叫做初始死亡率(initialratemortality)，在此，我們假設q對所有的個人都是相同的。(二)死亡人數的分佈設隨機變數Θ表示一年中死亡的人數，則死亡人數為θ的概率為其中，θ=0,1,2,……,P。上式說明，表示死亡人數的隨機變數Θ服從參數為(P,q)的二項分佈Binomial(P,q)(三)初始死亡率q的極大似然估計1.2.初始死亡率的極大似然估計的性質二、泊松型(固定人口)單原因減員模型(一)泊松型模型(固定人口)單原因減員模型的假設在這種最簡單的形式中，我們做如下的假設：①在T年中人數總是包括P個人，人口總是保持不變，死亡的人立刻被替換。②在任何短時間間隔中(t，t+h)：第一，單個死亡發生的概率是μhP即P［在(t，t+h)期間1人死亡］=μhP+第二，與僅發生一個死亡的事件相比，發生一個以上死亡的可以忽略，即P［在(t，t+h)期間1人以上死亡］=o(h)③在各個不同的時間間隔中死亡的發生是獨立的。參數μ為死亡力，我們假設μ對所有的人是相同的。(二)死亡人數的概率分佈對於給定期間的死亡人數θ，T年期間恰恰發生θ人死亡的概率是即代表死亡數θ的隨機變數服從(μPT)泊松分佈例1.2某大公司總是保持5000名年輕工人的員工規模，離開的立刻補上，計算6個月內不超過3人死亡的概率，假設所有工人的死亡力為0.0008。解：固定人數P=5000，死亡力為常數μ=0.0008，如果假設死亡是獨立的，則泊松分佈適用，6個月死亡人數服從泊松分佈，其均值為0.0008×5000×6/12=2，於是不超過3人死亡的概率是：0.1353+0.2707+0.2707=0.6767(三)災害率的極大似然估計2.災害率的極大似然估計的性質觀測的死亡人數θ服從參數為(μPT)的泊松分佈，其均值為μPT、方差為μPT，所以三、泊松型(變動人口)單原因減員模型(二)歷險數(ETR)前面探討的固定人口模型，人口規模一直為初始人口水準，我們把這種情況下的初始人口規模用初始歷險數(initialexposedtorisk)來描述，其縮寫為IETR，記為E，我們定義其值為初始人口總數P。為了使固定人口模型一般化，我們需要引入中心歷險數這一概念。中心歷險數(centralexposedtorisk)的縮寫為CETR，記為，它是衡量整個觀測期間平均人口規模的指標，其數值定義如下：其中和分別表示第i個被觀測個體進入和離開群體的時間(從觀測期間開始時進行計算)。(三)死亡人數的概率分佈四、模型比較(一)模型參數我們所見的模型參數總結在下表中所有模型都有一個相似之處，就是它們都包含兩個參數：——死亡率參數，二項型模型中初始死亡率和泊松模型中中心死亡率。——歷險數參數，二項型模型中初始歷險數ETR和泊松型模型中中心歷險數CETR。(二)初始歷險數與中心歷險數之間的關係我們可推導出初始歷險數與中心歷險數之間的以下關係當一人口總體接受為期一年的觀測時單原因減員率可用離散型二項模型或連續型泊松模型來測算。最簡單的泊松模型假定死亡者立即被代替，因此歷險數保持不變。更普遍的模型允許被觀測者在觀測期內進入或離開，因次，必須用每一個被觀測個體的實際被觀測時間來計算歷險數。第二節死亡力的確定首先，上一節的模型是以假定死亡率不發生變化為基礎的，然而，實際中這些數據會隨著年齡的變化而發生變化。第二個問題是，在我們正在進行觀測的人群中，在不同的年齡層次上，有些個體可能會離開這個被觀測的群體，(在模型中只考慮到了由於死亡才的離開的情況)。第三個問題關係到數據問題。壽險公司提供的數據常常不象我們喜歡的那樣嚴格地按年齡分類。如果是這樣，為了估計不同年齡的死亡率，我們就要根據死亡率觀測區間進行分組。一、基本模型(一)給定年齡的歷險數2.初始歷險數(IETR)3.歷險數的計算原則對於年齡為x歲的人，其提供的中心歷險數為在不同的時間A和B之間的差額，這就是我們計算歷險數的原則，其中：時間A是下列日期中的最後者：年齡