隐函数的求导方法.ppt

例3.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求答案:由题设故有第31页,共46页，星期六，2024年，5月例3.设求解法2（微分法）方程组两边同时微分用Gramer法则第32页,共46页，星期六，2024年，5月显然，利用全微分法求偏导数更简便第33页,共46页，星期六，2024年，5月例4.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对x,y的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数第34页,共46页，星期六，2024年，5月①式两边对x求导,得则有由定理3可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②第35页,共46页，星期六，2024年，5月②从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得第36页,共46页，星期六，2024年，5月例4的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于第37页,共46页，星期六，2024年，5月内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习设求第38页,共46页，星期六，2024年，5月提示:第39页,共46页，星期六，2024年，5月解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节由dy,dz的系数即可得作业P892,8，9,10(1);(3)第40页,共46页，星期六，2024年，5月备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(考研)解得因此第41页,共46页，星期六，2024年，5月2.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(考研)第42页,共46页，星期六，2024年，5月解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得第43页,共46页，星期六，2024年，5月二元线性代数方程组解的公式解:第44页,共46页，星期六，2024年，5月雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.第45页,共46页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第46页,共46页，星期六，2024年，5月************运行时,点击照片,或按钮“雅可比”,可显示雅可比的简介,并自动返回.******运行时,点击按钮“解的公式”,可显示二阶线性方程组解的公式,演示结束自动返回.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束关于隐函数的求导方法一、一个方程所确定的隐函数及其导数什么是隐函数？显函数:第2页,共46页，星期六，2024年，5月隐函数:二元方程一元隐函数如有时可以将隐函数显化：第3页,共46页，星期六，2024年，5月第4页,共46页，星期六，2024年，5月第5页,共46页，星期六，2024年，5月第6页,共46页，星期六，2024年，5月第7页,共46页，星期六，2024年，5月定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数第8页,共46页，星期六，2024年，5月两边对x求导在的某邻域内则第9页,共46页，星期六，2024年，5月例1方法一（公式法）第10页,共46页，星期六，2024年，5月例1方法二（直接求导法）方程两边对x求导，把y视为函数。第11页,共46页，星期六，2024年，5月例1方法三（微分法）方程两边同时微分第12页,共46页，星期六，2024年，5月若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶