空气动力学数值方法：有限差分法(FDM)：一维稳态对流方程的有限差分解法.pdfVIP

空气动力学数值方法：有限差分法(FDM)：一维稳态对流方

程的有限差分解法

1空气动力学数值方法：有限差分法(FDM)：一维稳态对流

方程的有限差分解法

1.1有限差分法基础

1.1.11有限差分法简介

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)是一种广泛应用于偏微分方程数

值求解的方法，尤其在空气动力学领域中，用于模拟流体流动、热传导等物理

现象。其基本思想是将连续的物理空间离散化，用网格点上的函数值的差商来

近似函数的导数，从而将偏微分方程转化为代数方程组，通过数值求解这些方

程组来得到原问题的近似解。

1.1.22一维空间离散化

在一维空间中，我们通常将空间划分为一系列等间距的网格点。假设我们

有一维空间域

0,

，其中是空间域的长度。我们选择网格间距，则网格点的位置可以表

示为=，其中=0,1,2,...,，且=。

1.1.2.1示例代码

#一维空间离散化示例

importnumpyasnp

#定义空间域长度和网格间距

L=1.0

Delta_x=0.1

#计算网格点数量

N=int(L/Delta_x)

#生成网格点

x=np.linspace(0,L,N+1)

1

#输出网格点

print(x)

1.1.33差分格式的构建

对于一维稳态对流方程

∂

=0

∂

，其中是流速，是待求解的物理量，我们可以通过有限差分法构建差分

格式。常见的差分格式包括向前差分、向后差分和中心差分。

1.1.3.1向前差分格式

−

+1

=0

1.1.3.2向后差分格式

−−1

=0

1.1.3.3中心差分格式

+1−−1

=0

2

1.1.3.4示例代码

#构建中心差分格式

importnumpyasnp

#定义流速和网格点

u=1.0

phi=np.zeros(N+1)

#应用中心差分格式

foriinrange(1,N):

phi[i+1]=phi[i-1]

#输出结果

print(phi)

2

1.1.44差分格式的稳定性分析

差分格式的稳定性是有限差分法求解偏微分方程的关键。稳定性分析通常

通过冯·诺伊曼稳定性分析(VonNeumannstabilityanalysis)来进行，该方法基于

傅里叶级数展开，通过分析差分格式的放大因子来判断格式的稳定性。

1.1.4.1稳定性条件

对于一维稳态对流方程的中心差分格式，稳定性条件通常为

≤1

，其中是差分格式的放大因子。

1.1.4