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唐山二中2024-2025学年度高三年级摸底演练考试
数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合,由交集运算即可求解.
【详解】解:
所以
故选:A.
2.已知为虚数单位,若,则()
A.-2 B.2 C. D.2i
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法法则化简复数,再求得共轭,即可求解
【详解】解:,
则.
故选:B.
3.已知非零向量满足,则在方向上的投影向量为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得,根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.
【详解】由知:,可得,
所以在方向上的投影向量为.
故选:B
4.若,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用三角恒等变形,化简为,再利用正切公式表示,即可求解.
【详解】,即,即,则.
故选:A.
5.已知数列满足,是数列的前项和,若已知,那么的值为()
A.322 B.295 C.293 D.270
【答案】A
【解析】
【分析】由递推公式分析可知数列的前项是首项为,公比为的等比数列,从第项开始是首项为,公差为的等差数列,根据等比数列和等差数列求和公式可求出结果.
【详解】∵,由可知,数列的前项是首项为,公比为的等比数列,
故为奇数,为奇数,所以从第项开始是首项为,公差为的等差数列,
所以.
故选:A
6.如图,圆台的上、下底面半径分别为,,且,半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切,则圆台的侧面积为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆台的轴截面图,结合圆台和球的结构特征求解,然后代入圆台的侧面积公式求解即可.
【详解】如图所示,作出轴截面,
分别为上下底面圆的圆心,为侧面切点,为内切球球心,
则为的中点,
,
因为,所以,
则
过点作,垂足为,
则,
在中,由勾股定理得,
即,解得或,
因为,所以,,故,
所以圆台的侧面积为.
故选:D.
7.已知过抛物线焦点直线交于,两点,点,在的准线上的射影分别为点,,线段的垂直平分线的倾斜角为,若,则(????)
A. B.1 C.2 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】首先求直线的倾斜角和直线方程,再联立直线和抛物线方程,利用韦达定理表示弦长,即可求解.
【详解】如图,过点作,
由条件可知直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为,
由,,所以,
设直线的直线方程为,
联立,得,
易知,则,
而,得
故选:B
8.已知函数的定义域为R,且,则()
A B. C.0 D.1
【答案】A
【解析】
【分析】法一:根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
【详解】[方法一]:赋值加性质
因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.因为,,,,,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.故选:A.
[方法二]:【最优解】构造特殊函数
由,联想到余弦函数和差化积公式
,可设,则由方法一中知,解得,取,
所以,则
,所以符合条件,因此的周期,,且,所以,
由于22除以6余4,
所以.故选:A.
【整体点评】法一:利用赋值法求出函数的周期,即可解出,是该题的通性通法;
法二:作为选择题,利用熟悉的函数使抽象问题具体化,简化推理过程,直接使用具体函数的性质解题,简单明了,是该题的最优解.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是()
A.数据的第25百分位数是1
B.若事件的概率满足且,则相互独立
C.已知随机变量,若,则
D.若随机变量,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A:根据百分位数分析运算;对于B:根据条件概率和独立事件分析判断;对于C:根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断;对于D:根据正态分布的性质分析判断.
【详解】对于选项:8个数据从小到大排列,由于,
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数,故A错误;
对于选项:由,可得,
即,可得,
所以相互独立,故B正确;
对于选项C:因为,则,故C正确;
对于选项D:因为随机变量,
由正态曲线的对称性可得:,则,
所以,故D正确;
故选:BCD.
10.已知函数,是函数的一个极值点,则下列说法正确的是()
A
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