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福州二中2024-2025学年高三适应性考试(8月)
数学学科
(满分:150分,考试时间:120分钟)
一?选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则图中阴影部分所表示的集合为()
A.B.C.D.
2.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A.240种B.120种C.96种D.480种
4.已知向量,满足,,,则向量在向量方向上的投影向量为()
A.B.C.D.
5.如图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是()
A.B.C.D.
6.若,则()
A.B.C.D.
7.设函数,则下列说法错误的是()
A.是的极大值点
B.
C.当时,
D.当时,
8.卵圆是常见的一类曲线,已知一个卵圆C的方程为:,O为坐标原点,点,点P为卵圆上任意一点,有下列四种说法:①卵圆C关于x轴对称;②卵圆上不存在两点关于直线对称;③线段PO长度的取值范围是;④的面积最大值为1;
其中正确说法的序号是()
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
二?多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9.已知直线和圆,则()
A.直线l过定点
B.直线l与圆O有两个交点
C.存在直线l与直线垂直
D.直线l被圆O截得的最短弦长为
10.已知定义在的函数满足,且,当时,,则()
A.
B.是偶函数
C.在上单调递减,在上单调递增
D.不等式的解集是
11.在正三棱柱中,,点P满足,其中,,则()
A.当时,的周长为定值
B.当时,三棱锥的体积为定值
C.当时,有且仅有一个点P,使得
D.当时,有且仅有一个点P,便得平面
三?填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.的展开式中常数项为__________.(用数字作答)
13.当时,曲线与的交点个数为__________.
14.已知函数,若当且仅当,则a的值是__________,b的取值范围是__________.
四?解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.如图,在四边形ABCD中,,,.
(1)求的正弦值;
(2)若,且的面积是面积的4倍,求AB的长.
16.如图,在三棱柱中,D,E分别是棱BC,的中点.
(1)在棱上找一点F,使得平面平面,并证明你的结论;
(2)若,是边长为2的等边三角形,,,求二面角的正弦值.
17.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数.
(i)求的值;
(ii)证明:存在实数m,使得曲线关于直线对称.
18.在平面直角坐标系中,点B与点关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线AP和BP分别与直线交于点M,N,问:是否存在点P使得与的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
19.已知有穷数列共有项,首项,设该数列的前n项和为,且其中常数.
(1)求证:数列是等比数列
(2)若,数列满足,求出数列的通项公式
(3)若(2)中的数列满足不等式,求出k的值.
福州二中2024—2025学年高三适应性考试(8月)
数学解析
1.【答案】A
【详解】由,即,解得,
所以,
又,所以,所以图中阴影部分所表示的集合为.
2.【答案】C
【详解】因为,
所以复数对应的点是,在第三象限,
3.【答案】A
【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能,这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能,所以不同的分法种数为种
4.【答案】C
【详解】因为,,
所以,得,
所以向量在向量方向上的投影向量为.
5.【答案】B
【详解】
如图,设上底面的半径为,下底面的半径为,高为,母线长为,
则,,解得,,
又,,
设上底面面积为,下底面面积为,
所以圆台的体积.
故选:B.
6.【答案】D
【详解】根据题意,
,
而
.
故选:D
7.【答案】D
【详解】的定义域为,
令得,
当时,,当时,,在单调递增,在单调递减.
对于A,是的极大值点,故A正确;
对于B,,而在单调递减,
,即,故B正确;
对于C,当时,,而在单调递减,,
即,故C正确;
对于D,当时,,
,而在单调
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