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2010-2023历年河北衡水中学高三上学期期中考试文科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.如图，四棱锥中，面面，底面是直角梯形，侧面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判断与的位置关系；

（2）求三棱锥的体积；

（3）若点是线段上一点，当//平面时，求的长.

2.若直线与曲线有交点，则（???）

A．有最大值，最小值

B．有最大值，最小值

C．有最大值0，最小值

D．有最大值0，最小值

3.如果函数满足：对于任意的，都有恒成立，则的取值范围是（???）

A．

B．

C．

D．

4.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.

5.的外接圆半径，角的对边分别是，且?.

（1）求角和边长；

（2）求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状.

6.定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是（?）

A．

B．

C．

D．

7.已知数列等于（??）

A．2

B．—2

C．—3

D．3

8.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是(??)

A．

B．

C．

D．

9.已知函数

（1）当时，求函数的单调区间;

（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间。设，试问函数在上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.

10.已知三条不重合的直线和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（??）

①若?????②

③????????④

A．1

B．2

C．3

D．4

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）；（2）；（3）.试题分析：本题以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、线面平行、线线平行的判定，在解题过程中还遇到了等腰直角三角形和直角梯形以及相似三角形等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，取中点，连结，因为是等腰直角三角形，所以，因为是直角梯形且，所以四边形为正方形，所以，所以平面，所以；第二问，先利用面面垂直，可得到线面垂直，得到锥体的高，用等体积法将转化为,再利用体积公式求值；第三问，先在面内找到线，这是由于//平面，再利用相似三角形，得到边长的关系，所以，所以.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以．

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．

所以平面．????所以．?????????????4分

（2）由，面面易得

所以，???????8分

（3）解：连接交于点，面面.

因为//平面，所以//．

在梯形中，有与相似，

可得

所以，???????????????12分

考点：1.线面垂直的判定定理；2.等体积法；3.相似三角形的性质.

2.参考答案：C试题分析：直线过点，曲线表示上半圆，点到直线的距离为，即，所以，有最大值0，最小值.

考点：1.点到直线的距离公式；2.直线与圆的交点.

3.参考答案：A试题分析：当时，，函数为增函数，∴在上，，

∴恒成立，符合题意，当时，，，函数在上，∴函数在上为减函数，∴，，∴恒成立，符合题意，所以综合上述情况，选A.

考点：1.特殊值法；2.利用导数判断函数的单调区间；3.利用导数求函数最值.

4.参考答案：（1）(,1)（2）2013试题分析：，，令，∴，∴∴对称中心为，

∴，∴.

考点：1.新定义题；2.导数.

5.参考答案：（1），；（2）的最大值，此时，此时三角形是等边三角形.试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及基本不等式的运用和求三角形面积的最值.第一问，先利用余弦定理将角化成边，去分母化简，得，再利用余弦定理求，在中，，所以，再利用正弦定理求边；第二问，先通过余弦定理，再结合基本不等式求出的最大值，得到面积的最大值，注意等号成立的条件，通过这个条件得出，所以判断三角形形状为等边三角形.

试题解析：（1）由,得：，

即，所以，???????????4分

又，所以，又，所以???????6分

（2）由，，

得（当且仅当时取等号）????8分

所以，（当且仅当时取等号）

10分

此时

综上，的最大值，取得最大值时，此时三角形是等边三角形.???12分

考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.均值定理；4.三角形面积公式.

6.参考答案：B试题分析：在上，，即，即，∴为增函数；

在上，，即，即，∴为减函数，

∴的增区间为，减区间为.

考点：1.函数图像；2.利用导数判断函数的单调性.

7.