广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题.docx

2025届高三·八月·六校联考

数学科试题

命题人：刘嘉审题人：翟浩宇张汇华

（满分150分.考试时间120分钟.）.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号?考场号?座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.

一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，则（）

A.B.C.D.

2.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

3.若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为（）

A.B.C.D.

4.已知：，则（）

A.B.C.D.

5.在菱形ABCD中，若，且在上的投影向量为，则（）

A.B.C.D.

6.已知函数在处有极小值，则实数（）

A.3B.C.1D.

7.将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（）

A.B.C.D.

8.设双曲线的左?右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（）

A.B.C.3D.4

二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知奇函数的定义域为，若，则（）

A.B.的图象关于直线对称

C.D.的一个周期为4

10.已知等比数列的公比为，前n项和为.若，且，则（）

A.B.C.D.

11.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：，其中r为复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若，，则.从0，1，中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：记.（）

A.不存在n，使得

B.若为实数，则的辐角可能为

C.的概率为

D.为整数的概率为

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆与抛物线的准线交于A，B两点，若，则___________.

13.若函数与在区间上均单调递增，则实数ω的取值范围为___________.

14.已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上恰有4个点M，满足，则d的取值范围为___________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（13分）

设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

（1）求角B的大小，

（2）若AB边上的高为，求.

16.（15分）

如图，在三棱锥中，平面平面BCD，.P为棱AC的中点，点Q在棱CD上，，且.

（1）证明：平面；

（2）若，求平面CPQ与平面ABD的夹角的余弦值.

17.（15分）

已知函数在处的切线方程为.

（1）求实数a的值；

（2）探究在区间内的零点个数，并说明理由.

18.（17分）

已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，.

（1）求C的方程；

（2）已知异于F的动点P，使得.

（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：

（ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值.

19.（17分）

对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.

（1）求20以内的质数“理想数”；

（2）已知.求m的值；

（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.

2025届高三·八月·六校联考

数学科答案及评分标准

一?单项选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

A

C

B

D

B

D

二?多项选择题（每小题6分，共18分）

题号

9

10

11