【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭003-三角函数、解三角形.doc

第三章三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

(1)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr和eq\f(1,2)|α|r2.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．

3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但假设不是单位圆时，如圆的半径为r，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).

[试一试]

1．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在()

A．第一或第三象限 B．第一或第二象限

C．第二或第四象限 D．第三或第四象限

答案：A

2．角α的终边经过点(eq\r(3)，－1)，那么sinα＝________.

答案：－eq\f(1,2)

1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；

2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，表达了数形结合的思想．

[练一练]

假设sinα0且tanα0，那么α是()

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

解析：选C由sinα0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．

考点一

角的集合表示及象限角的判定

1.给出以下四个命题：

①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①错误；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．

2．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，

N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()

A．M＝N B．M?N

C．N?M D．M∩N＝?

解析：选B法一：由于M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M?N，应选B.

法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N，应选B.

3．终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为_