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四川外语学院重庆第二外国语学校2025届高三下学期5月模块诊断数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,以下结论正确的个数为()
①当时,函数的图象的对称中心为;
②当时,函数在上为单调递减函数;
③若函数在上不单调,则;
④当时,在上的最大值为1.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若直线与曲线相切,则()
A.3 B. C.2 D.
3.已知满足,则()
A. B. C. D.
4.已知抛物线C:,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(A在x轴上方),且满足,则直线l的斜率为()
A.1 B.
C.2 D.3
5.已知集合,集合,那么等于()
A. B. C. D.
6.设函数在上可导,其导函数为,若函数在处取得极大值,则函数的图象可能是()
A. B.
C. D.
7.把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若函数是偶函数,则实数的最小值是()
A. B. C. D.
8.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
9.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则()
A. B. C. D.
10.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()
A.2 B. C. D.
11.在一个数列中,如果,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且,,公积为,则()
A. B. C. D.
12.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,,,,则________,的面积为________.
14.设满足约束条件,则的取值范围是______.
15.根据如图所示的伪代码,若输入的的值为2,则输出的的值为____________.
16.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若,,求函数的单调区间;
(2)时,若对一切恒成立,求a的取值范围.
18.(12分)已知,,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若过点的直线与曲线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.
19.(12分)如图,在四棱锥中,平面,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的普通方程;
(2)若P,Q分别为曲线,上的动点,求的最大值.
21.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.
22.(10分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.
(1)若,,成等差数列,求的值;
(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.
【详解】
①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.
②由题意知.因为当时,,
又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.
③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.
令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,
需,解得,正确.
④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.
因为,,所以最大值为64,结论错误.
故选:C
本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.
2.A
【解析】
设切
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