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2022-2023学年北京市中央民族大学附中高考第二次模拟考试数学试题试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A. B.
C. D.
2.已知函数,若对于任意的,函数在内都有两个不同的零点,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
3.设双曲线的右顶点为,右焦点为,过点作平行的一条渐近线的直线与交于点,则的面积为()
A. B. C.5 D.6
4.若双曲线:的一条渐近线方程为,则()
A. B. C. D.
5.若、满足约束条件,则的最大值为()
A. B. C. D.
6.的展开式中的一次项系数为()
A. B. C. D.
7.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()
A., B.存在点,使得平面平面
C.平面 D.三棱锥的体积为定值
8.已知某口袋中有3个白球和个黑球(),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是.若,则=()
A. B.1 C. D.2
9.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().
A.0 B.1 C.2 D.3
10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A. B. C.2 D.
11.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.的展开式中,满足的的系数之和为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在的二项展开式中,所有项的系数的和为________
14.已知,满足约束条件则的最大值为__________.
15.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)
16.已知为偶函数,当时,,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线的方程化为极坐标方程;
(2)已知点是曲线上的任意一点,又直线上有两点和,且,又点的极角为,点的极角为锐角.求:
①点的极角;
②面积的取值范围.
18.(12分)已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.
19.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知等差数列的公差为,等差数列的公差为.设分别是数列的前项和,且,,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
20.(12分)已知.
(1)求的单调区间;
(2)当时,求证:对于,恒成立;
(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
21.(12分)已知
(1)当时,判断函数的极值点的个数;
(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于,两点,与轴交于点,求.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
因为,,
所以,,故选D.
2.D
【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根,先求导,可判断时,,是增函数;
当时,,是减函数.因此,再令,求导得,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点,使得在有解,通过导数可判断当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;则应满足,再结合,构造函数,求导即可求解;
【详解】
函数在内都有两个不同的零点,
等价于方程在内都有两个不同的根.
,所以当时,,是增函数;
当时,,是减函数.因此.
设,,
若在无解,则在上是单调函数,不合题意;所以在有解,且易知只能有一个解.
设其解为,当时,在上是增函数;
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