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2022-2023学年北京市西城外国语学校高三1月阶段检测试题数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
2.已知集合,则元素个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在三棱锥中,,且分别是棱,的中点,下面四个结论:
①;
②平面;
③三棱锥的体积的最大值为;
④与一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是()
A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④
4.在各项均为正数的等比数列中,若,则()
A. B.6 C.4 D.5
5.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
7.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C. D.
8.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()
A. B. C. D.
9.为得到y=sin(2x-π
A.向左平移π3个单位B.向左平移π
C.向右平移π3个单位D.向右平移π
10.已知(i为虚数单位,),则ab等于()
A.2 B.-2 C. D.
11.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()
A. B.
C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称
12.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____
15.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.
16.已知,,,且,则的最小值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)对于非负整数集合(非空),若对任意,或者,或者,则称为一个好集合.以下记为的元素个数.
(1)给出所有的元素均小于的好集合.(给出结论即可)
(2)求出所有满足的好集合.(同时说明理由)
(3)若好集合满足,求证:中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.
18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设为曲线上位于第一,二象限的两个动点,且,射线交曲线分别于,求面积的最小值,并求此时四边形的面积.
19.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(12分)如图,在四棱锥中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中点.
证明:;
设,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.
21.(12分)如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.
22.(10分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
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