专题2.4 辅助圆定点定长（隐圆压轴一）（解析版）.pdf

专题2.4辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆

模型二：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离

为d，O半径为r.

位置关系点D在O内点D在O上点D在O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交

此时点E的位置点E与点D重合连接OD交O于点E

O于点E

【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠

BCD＝105°，则∠BDC＝．

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【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，

∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，

∵∠CAD＝2∠BAC，

∴∠CBD＝2∠BDC，

∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，

∴3∠CBD+105°＝180°，

∴∠CBD＝25°．

故答案为：25°．

【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，

请画出满足条件时点C的轨迹．

【解答】解：∵AB＝AC＝AD，

∴点C在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，

∵四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，

∴点C的运动轨迹为（不与B、D重合）．

【变式1-2】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝

度．

【答案】38

【解答】解：∵AB＝AC＝AD，

∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，

∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；

∵∠CAD＝76°，

∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．

【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一

点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点

F的轨迹．

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【解答】解：∵DF＝DC，

∴则点F在以点D为圆心DC为半径的圆上运动，

当点E与A重合时，AD与⊙D交于Q，

则即为点F的运动轨迹．

∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，则轨迹为优弧MQC，满足∠MDA＝∠CDA，

此时点F的轨迹为．

【变式2-1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋

转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨

迹．

【解答】解：如图，弧AM即为所求．

【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD

沿AD对折，得到△ABD，当点B落在AC边上时，点D停止运动，若AB＝AC，则

在点D的运动过程中，点B的运动路径长为．

【答案】

【解答】解：由折叠知AB＝AB，

∵AB＝AC，

∴AB＝AC，

∴sinC＝，

∴∠C＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∴点B的运动路径长为