专题2.3.2 一元二次方程的应用（2）(原卷版).pdf

专题2.3.2一元二次方程的应用（2）

【学习目标】

1.会用一元二次方程解决面积体积问题，分析具体问题中的数量关系.

2.建立方程模型，认识建模的重要性，培养数形结合的意识．

3.进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．

【要点梳理】

要点一、一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百

位、

千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的

数字

只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都

可用

其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一

个多位

数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：

100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2.握手问题

1

假设有x个人，握手总次数=2x(x-1)。假设有x个人，则每个人都要和除自己之外的（x-1）

个人握手，则总握手的次数是x（x-1）.但是在这些次的握手中，每一次的握手都重复计算了，所

1

以要把它除以2，则x个人握手的次数是2x(x-1).

1

单循环：x(x−1)=n双循环：x(x−1)=n

2

3.形积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，

根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

要点诠释：

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而

获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【典型例题】

类型一、数字问题

1x

．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，

44

个位上的数字比十位上的数字小，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小，求这

个两位数．

举一反三：

“

【变式】子曰：吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七

”—··

十而从心所欲，不逾矩．《论语第十二章为政篇》

列方程解决下面问题：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

类型二、握手问题

2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，有多少

人参加会议？

举一反三：

【变式】某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，全班共互赠

了182张，那么兴趣班有多少位学生？

类型三、形积问题

3．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙

MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，

求AB的长．

举一反三：

【变式】如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下

的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

一元二次方程的应用（专项练