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专题2.3.2一元二次方程的应用(2)
【学习目标】
1.会用一元二次方程解决面积体积问题,分析具体问题中的数量关系.
2.建立方程模型,认识建模的重要性,培养数形结合的意识.
3.进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是:个位、十位、百
位、千位……,它们数位上的单位从右至左依次分别为:1、10、100、1000、……,数位上的数
字只能是0、1、2、……、9之中的数,而最高位上的数不能为0.因此,任何一个多位数,都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示,这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如:一个三位数,个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为:
100c+10b+a.
(2)几个连续整数中,相邻两个整数相差1.
如:三个连续整数,设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1.
几个连续偶数(或奇数)中,相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如:三个连续偶数(奇数),设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.
2.握手问题
1
假设有x个人,握手总次数=2x(x-1)。假设有x个人,则每个人都要和除自己之外的(x-1)
个人握手,则总握手的次数是x(x-1).但是在这些次的握手中,每一次的握手都重复计算了,所
1
以要把它除以2,则x个人握手的次数是2x(x-1).
1
单循环:x(x−1)=n双循环:x(x−1)=n
2
3.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,
根据图形的面积或体积公式,找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释:
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题的解决而
获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、数字问题
1x
.根据下列问题,列出关于的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.一个两位数,
44
个位上的数字比十位上的数字小,且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小,求这
个两位数.
222
x+x410x+x442x19x+24=0
【答案】(﹣)=(﹣)﹣,一般形式为:-.
4
【分析】等量关系为:个位上的数字与十位上的数字的平方和=这个两位数﹣,把相关数值代入
求得整数解即可.
xx4
解:设十位上的数字为,则个位上的数字为(﹣).可列方程为:
22
x+x410x+x44
(﹣)=(﹣)﹣
整理得:2x2-19x+24=0.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用.解题的关键是找等量关系.
举一反三:
“
【变式】子曰:吾十有五而志于学,三十而立,四十而不惑,五十而知天命,六十而耳顺,七
”—··
十而从心所欲,不逾矩.《论语第十二章为政篇》
列方程解决下面问题:
大江东去浪淘尽,千古风
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