同济版高等数学教材详解.pdf

同济版高等数学教材详解

同济大学出版社出版的《高等数学》教材是大学教学中常用的一本

教材。本篇文章将对该教材进行详解，帮助读者更好地理解和学习高

等数学知识。

一、教材结构

《高等数学》教材由全书目录、前言、正文和附录四部分组成。其

中，正文部分包括基础篇、提高篇和拓展篇，共分为十二章。每一章

都由若干节组成，每一节又包含了重要的概念、原理和解题方法等。

二、基础篇详解

基础篇包括了数列与级数、函数与极限、微分学、积分学等内容，

这些内容是高等数学学习的基础，对于理解后续章节的内容至关重要。

1.数列与级数

数列与级数是数学中重要的内容之一，本书对其进行了详细的讲解。

其中包括等差数列与等比数列的概念、性质及求和公式；级数的概念、

性质及常见的级数判别法等。通过学习这一章的内容，读者可以深入

理解数列与级数的概念，掌握求和公式和级数求和的方法。

2.函数与极限

函数与极限是微积分的基础。本章主要介绍了函数的极限及其性质，

包括无穷小量、无穷大量和函数极限的运算法则等。此外，还介绍了

常见的极限计算方法，如洛必达法则等。通过学习这一章的内容，读

者可以建立对函数极限的概念和运算法则的理解，并能熟练地应用到

实际问题中。

3.微分学

微分学是函数学的一部分，主要研究函数的变化率和变化规律。本

章主要介绍了函数的导数及其应用，包括导数的定义、性质、导数的

运算法则以及相关的微分中值定理等。此外，还介绍了常见的函数的

极值判断方法，如一阶导数、二阶导数的判别法等。通过学习这一章

的内容，读者可以掌握函数的导数及其应用，并能灵活运用到实际问

题中。

4.积分学

积分学是微积分的另一部分，主要研究函数的积分与求面积、求体

积等问题。本章主要介绍了不定积分和定积分的定义与性质，包括基

本积分公式、换元积分法、分部积分法等。此外，还介绍了常见的定

积分应用，如求曲线的弧长、平面图形的面积等。通过学习这一章的

内容，读者可以理解积分的概念与性质，并能应用到实际问题中。

三、提高篇详解

提高篇是在基础篇的基础上进一步拓展和深化数学知识的内容。本

篇主要包括了常微分方程、数值计算方法、多元函数微分学等内容。

1.常微分方程

常微分方程是微分方程的一种特殊形式，主要研究函数与其导数之

间的关系。本章主要介绍了常微分方程的基本概念、一阶常微分方程

及其解法、高阶常微分方程及其解法等。通过学习这一章的内容，读

者可以理解常微分方程的基本理论，熟练掌握一阶、高阶常微分方程

的解法，并能应用到实际问题中。

2.数值计算方法

数值计算方法是数学中常用的一种计算方法，主要用于求解无解析

解的问题。本章主要介绍了数值计算方法的基本原理和常见的数值计

算方法，如插值法、数值积分法、数值解常微分方程的方法等。通过

学习这一章的内容，读者可以掌握数值计算方法的基本原理和常用的

计算方法，并能应用到实际问题中。

3.多元函数微分学

多元函数微分学是微积分理论的一部分，主要研究多元函数的导数、

方向导数及其应用。本章主要介绍了多元函数的偏导数、全微分、梯

度、方向导数等内容，并结合实际问题介绍了多元函数微分学的应用。

通过学习这一章的内容，读者可以理解多元函数微分学的基本概念和

运算，并能灵活应用到实际问题中。

四、拓展篇详解

拓展篇在提高篇的基础上进一步扩展了数学知识的深度和广度。本

篇主要包括了重积分、曲线曲面积分、无穷级数以及常微分方程系统

等内容。

1.重积分

重积分是积分学中的一种拓展，主要用于求解空间内的体积、质量

等问题。本章主要介绍了重积分的概念、性质及计算方法，如二重积

分、三重积分等。通过学习这一章的内容，读者可以理解重积分的概

念及其计算方法，并能应用到实际问题中。

2.曲线曲面积分

曲线曲面积分是积分学中的另一种拓展，主要用于求解曲线、曲面

的长度、面积等问题。本章主要介绍了曲线积分、曲面积分及其计算

方法，如第一类曲线积分、第二类曲线积分等。通过学习这一章的内

容，读者可以理解曲线曲面积分的概念及其计算方法，并能应用到实

际问题中。

3.无穷级数

无穷级数是数列与级数中的一种特殊形式，具有重要的数学性质。

本章主要介绍了无穷级数的收敛性、常用的收敛判别法以及常见的收

敛级数，如几何级数、调和级数等。通过学习这一章的内容，读者可

以理