2024-2025学年上海控江中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.09）.docx

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控江中学2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.准线方程是的抛物线的标准方程为______.

2.设集合，，则______.

3.函数的最小正周期为______.

4.已知事件A与事件B互斥，且，，则______.

5.在四面体中，若底面ABC的一个法向量为，且，则顶点P到底面ABC的距离为______.

6.计算______.

7.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品件数为______.

8.已知向量，向量，则向量在向量上的投影为______.

9.已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为3π，则圆锥的底面半径为______.

10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b是常数），则______.

11.已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为______.

12.设是由正整数组成且项数为m的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为______.

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)

13.如果，则下列不等式中一定成立的是（）

A. B. C. D.

14.函数在定义域上是（）.

A.严格增的奇函数 B.严格增的偶函数 C.严格减的奇函数 D.严格减的偶函数

15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“（其中，）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）.

①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；

④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律.

A.①③④ B.②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤

16.已知棱长均为1的正n棱柱有2n个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为AB.若集合，则当中的元素个数最少时.n的值为（）.

A.3 B.4 C.6 D.8

三、解答题(共5道大题,共76分)

17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)

记，其中λ为实常数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值.

18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)

甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9.

（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；

（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率.

19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)

如图，已知ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，，，，，二面角的平面角为60°，设M、N分别是AE、BC的中点.

（1）证明：；

（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)

已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，P为双曲线右支上一点.

（1）求双曲线C的离心率；

（2）设过点P和的直线l与双曲线C的右支有另一交点为Q，求的取值范围；

（3）过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为M、N两点，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)

已知函数，，其中.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

（3）设函数，当时，若存在，使得对于任意的，总有成立，求实数m的范围.

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.2;7.;8.;9.;10.；11.12.

11.已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为______.

【答案】

【解析】根据,可知满足条件的点在以为圆心,半径为2的圆及其内部,

因此,向量扫过的面积为图中阴影部分的面积,

若过原点的直线与圆相切,设切点分别为

则Rt中,,

可得.

因此,,

可得扇形的面积,

结合四边形的