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一元二次方程知识点和经典例题

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一元二次方程

一.基本概念

定义：形如：（）的方程,叫做一元二次方程的一般式.

例题：若方程是关于x的一元二次方程，求m的值.

二.一元二次方程的解法

（1）直接开方法：,开平方求出未知数的值：

（2）因式分解法：,因式分解得：∴，

（3）配方法:,得：,∴即：

∴，

（4）公式法：

解法步骤：eq\o\ac(○,1)先把一元二次方程化为一般式；eq\o\ac(○,2)找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值；eq\o\ac(○,3)计算出的值；eq\o\ac(○,4)把a,b,的值代入公式;eq\o\ac(○,5)求出方程的两个根.

例题：解方程：x(x+12)=8x+12

解：原方程化简得：,方程中：a=1,b=4,c=-12

==(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴=

∴原方程根为：，-6.

一元二次方程解法练习题：

（1）用直接开方法解一元二次方程：

eq\o\ac(○,1)(2x-1)=7eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)

（2）用因式分解法解一元二次方程：

eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)5x(x-3)=6-2xeq\o\ac(○,3)2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)

eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,6)

（3）用配方法解一元二次方程：

eq\o\ac(○,1)x(x+4)=8x+12eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)

（4）用公式法解一元二次方程：

eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,11)2x2-33x+130=0

（5）选择适当的方法解下列方程:

eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)

eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,6)

三.一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：把叫做一元二次方程：（）的根的判别式.

利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：

例1.不解方程判断下列方程跟的情况：

（1）（2）（3）2

解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，==(-8)2-4×2×8=64-64=0

∵=0∴原方程有两个相等的实数根.

（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，==(4)2-4×1×（-12）=16+48=64

∵0∴原方程有两个不相等的实数根.

（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，==(-3)2-4×2×2=9-16=-7

∵0∴原方程无实数根.

例2.关于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围.

解：当m－1≠0时,即：m时，该方程是关于x一元二次方程.

∵原方程有实数根

∴，即：Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋44

解得：∴m的取值范围是且m.

例3.求证：关于x的一元二次方程总有实数根.

证明：∵且，

∴总有∴关于x的一元二次方程总有实数根.

四.一元二次方程根与系数的关系

1.定理：设一元二次方程(且)的两个根分别为和，则：

；

特别地：对于一元二次方程，根与系数的关系为：

；

注：eq\o\ac(○,1)此定理成立的前提是．也就是说必须在方程有实数根时才可使用.

eq\o\ac(○,2)此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例

（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；

例1.已知关于的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根是2，求该方程的另一根.

解：设方程的另一根为，则+2=-4，∴=-6∴方程的另一根为-6.

例2.已知方程有一个根是2，求它的另一个根.

解：是它的另一个根是，则2·=，∴=∴方程的另一根为.

注：本题也可由+2=求出=

（2）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；

例3.已知一元二次方程的两根分别为和，求这个方程.

.

例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是