2024年《金牌学案》物理人教版必修第二册教师用书配套Word课件：15　第七章　3．万有引力理论的成就.docxVIP

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3．万有引力理论的成就

1.了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。

2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。

3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。

“称量”地球的质量计算天体质量

1．“称量”地球的质量

(1)合理假设：不考虑地球自转。

(2)“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝Gmm地R2，由此可解得m

(3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。

2．计算天体质量

(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程Gmm太r2＝m4π2T

(2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。

(3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝4π

1969年7月21日，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。

【问题】

(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？

(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？

(3)若月球半径R已知，航天员身边有些质量已知的钩码、弹簧测力计和停表等一些简单工具，试想一下航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？

提示：(1)能求出地球的质量，利用GMmr2＝m4π2T2

(2)不能，由GMmr2＝m4π2T2r可知，做圆周运动的月球的质量

(3)方法1：航天员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F，则F＝GMmR2，故M＝

方法2：用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知GMmR2＝m4π2T2

1．天体质量的计算

(1)重力加速度法。

若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R

(2)环绕法。

借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：

万有引力提供向心力

中心天体的质量

说明

GMmr2＝

M＝r

r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期

GMmr2＝

M＝r

GMmr2＝

M＝4

2．天体密度的计算

(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3，将M＝4

(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3π

【典例1】如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()

A．M＝4π2R+h3

B．M＝4π2R+h3

C．M＝4π2t2

D．M＝4π2n2

D[对卫星有GMmR+h2＝mω2(R＋h)，ω＝2πT＝2πnt，解得M＝4π2n2R+h3G

求解天体质量和密度时的两种常见误区

(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT

(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝3πr3GT

[跟进训练]

1．若已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则可知地球质量的数量级是()

A．1023kg B．1021kg

C．1022kg D．1024kg

D[在地球表面有GMmR2＝mg，代入数据得M≈6.02×1024kg，D正确，A、B、C

2．我国“嫦娥二号”可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要()

A．测定飞船的运行周期

B．测定飞船的环绕半径

C．测定月球的体积

D．测定飞船的运行速度

A[当测定飞船在月球表面附近的运行周期为T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律GMmR2＝m2πT2R，可得月球的质量M＝4π2R3GT2，则月球的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πGT2，可见月球的密度可以测定，故A正确；测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故B错误；测定月球的体积，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，