专题2.4 与几何相关的应用（压轴题专项讲练）（北师大版）（原卷版）.pdf

专题2.4与几何相关的应用

【典例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D

出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个

单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运

动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？

【思路点拨】

以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB＝PQ时，当PQ＝BQ时，当BP＝BQ时，由

等腰三角形的性质就可以得出结论．

【解题过程】

解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，

1

∴EQ=BQ，

2

∵CQ＝t，

∴BQ＝16﹣t，

1

∴EQ＝8―t，

2

11

∴EC＝8―t+t＝8+t．

22

1

∴2t＝8+t．

2

16

解得：t=．

3

如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，

∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，

∵∠C＝∠D＝90°，

∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，

∴四边形DEQC是矩形，

∴DE＝QC＝t，

∴PE＝t，QE＝CD＝12．

在Rt△PEQ中，由勾股定理，得

PQ=2+144．

16﹣t=2+144，

7

解得：t=；

2

如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，

∵CQ＝t，

∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，

∵PD＝2t，

∴CE＝2t，

∴BE＝16﹣2t，

在Rt△BEP中，

222

（16﹣2t）+12＝（16﹣t），

3t2﹣32t+144＝0，

2

△＝（﹣32）﹣4×3×144＝﹣704＜0，

故方程无解．

167

综上所述，t=或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．

32

1．（2021春•长兴县月考）把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，

2

将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm，则此时长方体盒子的

体积为（）

A．750cm3B．1536cm3C．2000cm3D．2304cm3

2．（2021秋•江岸区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个

封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，

左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（）cm．

25427342213633

A．3B．C．D．

3444

3．（2022•随县一模）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形