专题2.5 线圆最值 （隐圆压轴二）（原卷版）.pdfVIP

专题2.5线圆最值

考点：线圆最值

已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间

的距离为d.

位置关系直线与O相离直线与O相切直线与O相交

图示

点Q到直线l距离的

d＋r2rd＋r

最大值

过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为

此时点Q的位置

点Q

点Q到直线l距离的

d－r0r－d

最小值

此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q

拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定

边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解

【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是

矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值．

【变式1-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，

AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）

A．B．C．6D．

【变式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点

D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度

的最小值为（）

A．1B．C．D．

【典例2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE

＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△

ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值

．

【变式2-1】（思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在

点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值．

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是矩形ABCD内一点，

且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值．

【变式3-1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，

AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值

是，点F到线段BC的最短距离是．

【变式3-2】如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线

段DP最短时，CP＝．

【变式3-3】（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝

8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ

长度的最小值是4，则△ABC的面积．

【典例4】如图，在边长2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中

点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN，连

接AB，AC，则△ABC面积的最小值