专题2.4 勾股定理的应用（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）.pdf

专题2.4勾股定理的应用

【典例1】吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的

条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．

（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C处；

1

（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体

表而爬到点C处；

1

（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体

侧面爬到点C处．

【思路点拨】

（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；

（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；

（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．

【解题过程】

（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，

∵正方体的棱长为5cm，

∴AC=10，CC=5，

1

∴AC=2+2=102+52=55cm．

11

∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为55cm．

（2）分两种情况：

①如图，当横向展开时：AC=10，CC=6，

1

∴AC1=2+12=102+62=234cm，

②如图，当竖向展开时：AD=11，DC=5，

1

∴AC1=2+12=112+52=146cm，

∵234＜146，

∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为234cm．

（3）圆柱侧面展开图如图所示：

∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，

∴BC=5，AB=5，

∴AC=2+2=52+52=52cm，

∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为52cm．

1．（2023春·八年级课时练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与

墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了

（）米．

A．0.5B．0.4C．0.6D．1

【思路点拨】

在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据

勾股定理，得CE=1.5米，所AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．

【解题过程】

解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，

∴2+2=2，

∵AB=2.5米，BC=1.5米，

∴AC=2−2=2.52−1.52=2米．

∵Rt△ECD中，CE⊥CD，

∴2+2=2，

∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，

∴EC=2−2=2.52−22=1.5米，

∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．

故选：A．

10 km=4 km

2．（2023春·八年级课时练习）如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，

=6 km⊥⊥

．于，于，现要在上