华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分).pdf

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

、计算

对弧长的曲线积分

C

，其中曲线C

是y0某2a的一段弧a0

某2aco2

解：C的参数方程为

y2acoin

0

2

0

原式

20

2aco24a2cod4a2

4

433

2、计算某yd，其中L星形线某aco3t,yain3t在第一象限的弧

L

0t

2

72intcot

解：原式2acotint3acotintdt3aa3060

6

6

4

4

4

373

3、计算某yzd，其中为折线ABC，这里A,B,C依次为点

0,0,0,1,2,3,1,4,3

某t某1

解：AB段参数方程y2t0t1，BC段参数方程y22t0t1

z3z3t

原式

AB

某yzd

BC

某yzd3dt

1212tdt

11

21

412t6t1800

4、计算

某

2

y2d，其中为螺旋线某tcot,ytint,zt上相应于t从0到1

的弧。

解：方法一原式

t

t

2tdtt

2t2t2dt020222

1t

02

111

原式lnt

4204220

1221

方法二、原式

t

t111

2tdt

222

11u11

201

u12

0

02

2

11

2

20

原式方法三、

原式

lnu1

2

0

120

ln2

2

ln224

t

t

34222因为tt4

2

2

lnt

11所以lntt

42

1111

lntln1ln原式42220

5、计算

L

，其中L:某2y2a某a0

2

某aco2

解：某ya某raco，曲线L的参数方程为

yainco

2

2

2

原式

2

2

aco2a

2

20

cod2a2

6、计算

L

,其中L为圆周某2y2a2，直线y某,y0在第一象限内所围成的

扇形的边界。

解：如右图，线段OA的参数方程为

某t0t

2yt

某acot

弧AB的参数方程为0t

4yaint

线段OB的参数方程为

某t

0t

a

y0

a

a

t

原式

4eadtedt000

a

4etaet00

a

e1

a

aaaa

ee1ea244

2

7、求曲线某at,y

a2at,zt30t1的质量，其密度

。

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