2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第三册教师用书：排列数的综合应用(习题课)含解析.pdf

排列数的综合应用(习题课)

新版课程标准学业水平要求

1.进一步理解排列的概念,掌握一

些排列问题的常用解决方法.(数

学建模)

理解排列数的概念,能利用排列数

2.能应用排列知识解决简单的实

公式解决简单的排列问题.

际问题.(数学建模、逻辑推理)

3.掌握几种有限制条件的排列的

解法.(逻辑推理)

关键能力·素养形成

类型一数字排列问题

【典例】1.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000

大的五位偶数共有________个.

2.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.

(1)如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个?

(2)如果组成的四位数必须大于6500,那么这样的四位数有多少个?

【思维·引】

1.解答本题时充分借助题设条件,先考虑首位数字的特征,其次考虑末

位数字的要求,中间三个数将剩余的三个数全排的思维模式,运用排列

数公式求解.

2.先确定四位数的最高位,再依次确定其他数字,结合排列的定义及排

列数公式求解.

【解析】1.由题设可知:当首位排5和3时,末位可排2和4,中间三数全

排,两种情况共有4种;当首位排2和4时,末位只能排4和2,中间三

个数全排,两种情况共有2,所以由分类加法计数原理可得所有符合条

件的五位数共有6=6×6=36个.

答案:36

2.(1)第一步排个位上的数,因为组成的四位数必须是偶数,个位数字只

能是2,4,6之一,所以有种排法;第二步排千、百、十这三个数位上的

数字,有种排法.根据分步乘法计数原理,符合条件的四位数的个数是

=3×6×5×4=360.

故这样的四位数有360个.

(2)因为组成的四位数要大于6500,所以千位上的数字只能取7或6.

排法可以分两类.第一类:千位上排7,有种不同的排法;第二类:若千位

上排6,则百位上可排7或5,十位和个位可以从余下的数字中取2个来

排,共有种不同的排法.根据分类加法计数原理,符合条件的四位数

的个数是+=160.

故这样的四位数有160个.

【内化·悟】

1.在数字的排列问题中应注意哪些位置上的数?

提示:(1)要注意最高位不能为0;(2)对奇(偶)数要注意个位上的数为

奇(偶)数;(3)能被3或5整除的数对各位数字上的要求.

2.对于数字的排列问题应先排哪一位上的数?

提示:根据情况而定,有可能先排最高位,也可能先排个位.

【类题·通】

数字排列问题的解题原则

排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题

的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某

些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特

殊元素或优先满足特殊位子,若一个位子安排的元素影响到另一个位

子的元素个数时,应分类讨论.

提醒:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和

分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.

【习练·破】

我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗

数”),则“北斗数”中千位为3的共有________个.

【解析】由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4,有以下四

种可能:0,0,4;0,1,3;0,2,2;1,1,2;各种组合对应的排列个数分别为3,6,3,3,

合计15个.

答案:15