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高中数学解析几何解答题（有答案）

解析几何解答题

1、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已

知

F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最

远距离为

（1）求此时椭圆G的方程；

（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点

E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、

Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明

理由．

解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相

垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆

心…1分

故该椭圆中即椭圆方程可为………3分

设H（x,y）为椭圆上一点，则

……………4分

若，则有最大值…5分

由（舍去）(或b2+3b+927,故无解)……………6分

若…7分

由所求椭圆方程为…8分

（1）设，则由两式相减得

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……③又直线PQ直线m直线PQ方程为

将点Q（）代入上式得，……④…11分

由③④得Q（）…12分

而Q点必在椭圆内部，

由此得,故当

时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分

2、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，

且与双曲线左、右两支的交点分别为.

（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；

（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定

值吗？证明你的结论.

解：（Ⅰ）与圆相切,……①

由,得,

,故的取值范围为.

由于，当时，取最小值.6分

（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，

由①，得，为定值.12分

3、已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交

点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称

点为D．

（1）求抛物线的方程。

（2）证明：点在直线上；

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（3）设，求的面积。．

解：（1）

设，，，的方程为．

（2）将代人并整理得，

从而

直线的方程为，

即令

所以点在直线上

（3）由①知，

因为，

故，解得

所以的方程为

又由①知故

4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，

点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三

点不共线．

(I)求椭圆的方程及直线的斜率；

(Ⅱ)求面积的最大值．

解：（I）设椭圆的方程为，

则，得，.

所以椭圆的方程为.…3分

设直线AB的方程为(依题意可知直线的斜率存在)，

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设，则由，得

,由，得，

，设

,易知，

由OT与OP斜率相等可得，即，

所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为.……6

分

（II）设直线AB的方程为，即，

由

得，

，.………………8分

点P到直线AB的距离为.

于是的面积为

……10分

设，，其中.

在区间内，，是减函数；在区间内，，是增函数.所

以的最大值为.于是的最大值为18.…12分

5、设椭圆的焦点分别为、，直线：

交轴于点，且．

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交

于、、、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的

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直线方程．

解：（Ⅰ）由题意，1分

为的中点2分

即：椭圆方程为3分

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，

四边形的面积不符合题意故舍掉；4分

同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍

掉；5分

当直线，均与轴不垂直时，设:，

代入消去得：6分

设7分

所以，8分

所以，9分

同理11分

所以四边形的面积

由，12分

所以直线或

或或13分

6、已知抛物