专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【苏科版】.pdfVIP

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）

【名师点睛】

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任

意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

2.等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等

边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未

来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

【典例剖析】

【例1】（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝15°．

（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝20°．

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．

【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，

所以∠DEC＝15°；

（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°；

（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠

BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

进而得出∠BAD＝2∠CDE．

【解析】（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝30°，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝75°，

∴∠EDC＝15°；

（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝40°，

∴∠BAD＝∠CAD＝40°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝70°，

∴∠EDC＝20°；

（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）；理由如下：

∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，

∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，

即∠BAD＝2∠CDE．

故答案为：15°；20°．

【变式1】（2018秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE＝CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不

变．求证：AE＝BC．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线

段两端点的距离相等可得BE＝CE；

（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AF＝BF，根据同角的余角相

等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角角边”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证

明即可．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD垂直平分BC，

∴BE＝CE；

（2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF＝BF，

∵AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C＝90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C＝90°，

∴∠EAF＝∠CBF，

在△AEF和△BCF中，