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小学奥数重叠问题专题

日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数

据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类

问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。学生学习奥数，

一定要掌握容斥原理。下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1.解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有

重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2.解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助

图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解

答方法。

3.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。这种图称

为韦恩图（也叫文氏图）。

4.解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分

加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这

个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

。

5.容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A

类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A

类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于

A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：

（1）拼接（对接）

（2）

]

搭接

（3）

（4）打结

题目1：（搭接正问题：求总长度）

把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。中间重叠的部分是6厘

米，粘好的纸条长多少厘米

$

题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）

把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间

重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米

$

题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）

两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12

厘米。另一根木棍长是多少厘米

/

题目4：（搭接反问题二：求粘合长度，或重叠长度）

把两段同样是15厘米长的纸条粘合在一起，形成一段24厘米长的纸条，请问中间粘合的长

度是多少厘米

~

题目5：（打结正问题：求总长）

用3根9米的短绳子打结连接成一根长绳子，打结时两端的绳子各用去的1米，请问打结后

的长绳子长度是多少米

题目6：（打结反问题：求原绳长）

`

用3根打结连接成一根12米的长绳子，打结时两端的绳子各用去的1米，请问原来每根绳

子的长度是多少米

、

题目7：（打结反问题：求打结长度）

用3根8米长的绳子打结成一根16米的长绳子，打结时两端绳子用去的长度相同，请问用

去了多少米

@

二、重叠问题之排队：

题目8：

三（2）班同学排队做操，每行人数同样多，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4

个，从前数是第2个，从后数是第4个。三（2）班共有多少个人

》

三、重叠问题之重复统计：

题目9：（正问题）

三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有29人，每天至少写完

一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人

~

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题目10：（正问题）

一（5）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份

报都订，那么：

（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人

（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人

（3）有多少人两种报都没订

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题目11：（反问题）

某班同学参加运动会，每人限报两项。其中40人参加了长跑，32人参加了跳高，既参加长

跑又参加跳高的有18人，这两项都没有参加的有20人。这个班共有学生多少人

]

题目12：（理解：韦恩图）

一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10人两题都对，8人两题都错，第二道题

有15人错，问第一道对而