专题2.5 二次函数的应用【九大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）.pdfVIP

专题2.5二次函数的应用【九大题型】

【北师大版】

【题型1图形面积或周长问题】1

【题型2图形运动问题】6

【题型3拱桥问题】10

【题型4销售问题】14

【题型5投球问题】18

【题型6喷水问题】25

【题型7增长率问题】30

【题型8车过隧道问题】33

【题型9行程问题】38

【知识点1解二次函数的实际应用问题的一般步骤】

审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关

系（即函数关系）；

设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；

列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；

解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；

检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；

答：写出答案.

【题型1图形面积或周长问题】

【例1】（2022秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，

用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域

的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝

2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；

（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，

∴AE＝2BE，

设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，

∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，

13

∴a=−x+10，3a=−x+30，

44

33

−=−2

∴y＝（x+30）xx+30x，

44

1

∵a=−x+10＞0，

4

∴x＜40，

1

=−2

则y4x+30x（0＜x＜40）；

333

=−2=−2−

（2）∵y4x+30x4（x﹣20）+300（0＜x＜40），且二次项系数为4＜0，

∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．

【变式1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角

（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．

2

（1）若花园的面积为252m，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，

不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

【分析】（1）根据AB＝x米可