时空几何｜欧几里德（平面）几何非欧几里德（双曲、椭圆）几何.pdf

时空几何｜欧几里德（平面）几何非欧几里德（双曲、椭圆）

几何

数学研究的对象是“数”与“形”，形的数学就是几何学．它是

以直观为主导，以培养人的空间洞察力与思维为目的．从数学发展的

历史来看几何学的第一个最重要著作就是欧几里得(Euclid，约公元前

330一275年)的《几何原本》．它被世界各国翻译成各种文字．它的

印刷量仅次于“圣经”，所以不少人称《几何原本》为数学工作者的

“圣经”。《几何原本》在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的

地位。

目录

1欧几里德几何（EuclidGeometry）－平面

2非欧几里德几何（noneuclideangeometry）－非平面

2.1负曲面几何(罗氏几何)，双曲几何（HyperbolicGeometry）

-鞍形

2.2正曲面几何(黎曼几何)，椭圆几何（EllipticalGeometry）-球

形

1欧几里德几何（EuclidGeometry）－平面

欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认

的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，

推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏

几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”

与“立体几何”(欧几里得空间)。

Euclid(约公元前330一275)↑

在欧几里德以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始

用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德将早期许多

没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，

标志着欧氏几何学的建立。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。

其中有八卷讲述几何学，包含了现今中学所学的平面几何和立体几何

的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对

诸定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。

在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，

而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地

推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性

并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”即是一例。

同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个

数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公

理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演

绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。

他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一

系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一

个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了

大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观

止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论

的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用

公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎

的数学体系的典范。

2非欧几里德几何（noneuclideangeometry）－非平面

欧几里德几何公理五又称之为平行公设（ParallelPostulate），

叙述比较复杂，并不像其他公理那么显然。这个公设衍生出“三角形

内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F.Gauss）的时代，公设五

就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（NikolayIvanovitch

Lobachevski）、匈牙利人波尔约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系

统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不

一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几

何”（non-Euclideangeometry