2024-2025学年上海交大附中高二上学期数学开学考试题及答案（2024.09）.docx

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交大附中2024学年第一学期高二年级数学摸底考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知,则.

2.设复数满足(i是虚数单位),则的虚部是.

3.已知向量,若,则实数.

4.焦点在轴上,焦距为,且经过点的椭圆的标准方程为.

5.幂函数的图像经过点,则的值为.

6.已知为任意实数,直线的倾斜角的范围是.

7.*不等式：的解集为.

8.已知,若对一切成立,则.

9.*函数的对称中心是,则.

10.*给出下列命题:

(1)是的充分非必要条件；

(2)函数的最小正周期为是的充要条件;

(3)平面向量与的夹角是锐角的充要条件是.

其中正确命题的序号是.（把所有正确命题的序号都写上）

11.在正方形所在平面上有点,使得都是等腰三角形.那么具有这样性质的点共有个.

12.已知,若数列为严格增数列,则实数的取值范围是.

二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.）

13.若,且,则下列不等式一定成立的是（）.

A.B.C.D.

14.*在中,若且,则是（）.

A.等边三角形B.等腰三角形，但不是等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形

15.若复数满足，则的最小值为（）.

A.3B.2C.D.1

16.已知，对关于的方程的实数解情况进行讨论，下面的结论中错误的是（）.

A.至多有三个实根B.至少有一个实根

C.当且仅当时有实根D.存在,使原方程有三个实根

三、解答题。（本大题共5小题，满分78分。）

17.（本题满分14分,第(1)题满分6分,第（2）题满分8分）

已知且.

(1)求的值;

(2)求的大小.

18.*(本题满分14分,第(1)题满分6分,第(2)题满分8分)

已知，集合,。

(1)若,求的值;

(2)若,求的值.

19.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）

如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上.

（1）试用平面解析几何的方法证明：；

（2）设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：.

20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知数列为等差数列,数列为等比数列,且,

（1）求数列的通项公式;

（2）若,求数列的前项和;

（3）记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在,请说明理由.

21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）

对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，则称函数为区间上的函数。

（1）判断：函数与是否是R上的函数，其中；

（2）对于（1）中的函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数是区间R上的函数，求实数和的值。

【附加题】已知实数且,数列满足:,

试判断数列的单调性.

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交大附中2024学年第一学期高二年级数学开学考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知,则.

答案:1.

2.设复数满足(i是虚数单位),则的虚部是.

答案:3.

3.已知向量,若,则实数.

答案:3.

4.焦点在轴上,焦距为,且经过点的椭圆的标准方程为.

答案:.

5.幂函数的图像经过点,则的值为.

答案：2.

6.已知为任意实数,直线的倾斜角的范围是.

答案:.

7.*不等式：的解集为.

答案:.

8.已知,若对一切成立,则.

答案:.

9.*函数的对称中心是,则.

答案:0

10.*给出下列命题:

(1)是的充分非必要条件