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待定系数法在解题中的灵活运用

待定系数法英文名称为undeterminedcoefficients它是一种求未知数的方法。

一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时

同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，

将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求

出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的

意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确

定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解

成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些

尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的

恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。广泛应用

于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。如果我们的学生能掌握

这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都

很有帮助。下面就让我们一起体会一下：

待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用

我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，

可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对

于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，

例如：例：已知且，求的取值范围。这个题目，我们首先想到的是把不能直

接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可

以了。但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，

说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。这时我们就要想想是否有别的方法可

以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。我们可以保持和范围的完整性，能

不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把

这个问题解决了。具体来看看详细的解答过程。

例1：已知且，求的取值范围。

解：设

由等式的性质得化简得

，

两式相加，得

并不是所有的不等式都可以写成与的和或者差来解决，但是待定系数法的

解题精髓是不变的，例如以下的例题。

例2：设x，y为实数，满足，则的最大值是①

解法一：设，，

又，

两式相乘，得即最大值为27

小结：解法一的方法比较简单，但仔细的看看后不难发现它要求我们的观察

能力要非常强的，解答过程不复杂，但对于能得出的要求是非常高的，这时我

们就不防试试我们的待定系数法了。

解法二：设化简整理得

解得

两式相乘，得

即227，即最大值为27

小结：本题可以很轻松的找到的分解式，但是在设已知条件时我们容易设

成，这样就是由几个相加得到，而实际上应该是由几个xy2相乘再与几个相乘

最后再相乘得到。

二、待定系数法在数列中的应用

当我们在数列中遇到（其中x，y，c均为常数R）这种形式时，我们要想

办法构造成一个新的等比数列，但是往往我们凭感觉是比较难构造出的，这时我

们可以借助于我们数学中的待定系数法来完成，构造就能很轻松的完成。我们可

以设把这个式子展开整理得与原式比较得这样就很容易得出了我们新构造

的等比数列了。

例3：数列{an}的前n项和为Sn，若an+Sn=n，cn=an-1，求证：数列{cn}

是等比数列。

证明：①

又②

②-①，得即

设展开整理得

与相比较得M=-1

即

三、待定系数法在三角函数中的应用

待定系数法在三角函数中的应用有时也起到了关键的作用，当无法直接去求

一个角的值时我们可以采用设定一个系数，通过对代数式的转化，从而求出系数，

进而帮助我们解决三角函数中不能直接求值的问题。下面我们用实例看看待定系

数法在三角函数中的具体应用。

例4：已知，，求

分析：此题如果想直接求和的值，是无法完成的；所有要对进行转化为

和，但是对于我们用肉眼去观察是很难看出他们的系数关系，所有我们可以