高中数学知识点精讲精析-最大值-最小值问题资料.docx

2.2最大值，最小值问题

要点精讲

1.函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．

一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．

说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⒉利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

典型例题

1．求函数在上的最大值和最小值。

【解析】

令，得，

由于

所以，在在上的最大值是，最小值是。

2．已知某商品的需求函数为，从成本函数为。若工厂有权自定价格，每天生产多少个单位的产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？

【解析】

总收入

利润

由于

令得。

由于，所以为极大值点，也是最大值点。即每日生产个单位的产品时，利润最大，此时价格为：

个价格单位。

3．在边长为60cm

【解析】

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积

．

令＝0，解得x=0（舍去），x=40，

并求得 V(40)=16000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

【解析】

设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S=2πRh+2πR2

由V=πR2h，得，则

S(R)=2πR+2πR2=+2πR2

令 +4πR=0

解得，R=，从而h====2

即 h=2R

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0．

5．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

【解析】

收入，

利润

令，即，求得唯一的极值点

答：产量为84时，利润L最大

6．（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明

。

【解析】

（Ⅰ）解：对函数求导数：

于是，

当时，，在区间是减函数，

当时，，在区间是增函数，

所以时取得最小值，，

（II）用数学归纳法证明。

(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立

(ⅱ)假设当n=k时命题成立

即若正数满足，

则

当n=k+1时，若正数满足，

令

，，……，

则为正数，且，

由归纳假定知

①

同理，由，可得

②

综合①、②两式

即当n=k+1时命题也成立

根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立。