第11讲平方根(5种题型)(原卷版+解析).docxVIP

第11讲平方根（5种题型）

【知识梳理】

一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

2.平方根的定义

如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：

（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点：

（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

三、平方根的性质

四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【考点剖析】

题型一、平方根和算术平方根的概念

例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．

【变式1】下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根

C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0

【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）没有平方根．（）

（2）．（）

（3）的平方根是．（）

（4）是的算术平方根．（）

例2、填空：

（1）是的负平方根．

（2）表示的算术平方根，．

（3）的算术平方根为．

（4）若，则，若，则．

【变式1】下列说法中正确的有（）：

3是9的平方根．②9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式2】的平方根是．

例3.为何值时，下列各式有意义？

(1)；(2)；(3)；(4)．

【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________．

【变式2】已知，求的算术平方根．

题型二、平方根的运算

例4、求下列各式的值．

(1)；(2)．

题型三、利用平方根解方程

例5、求下列各式中的x值，

（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．

【变式1】求下列各式中的.

（1）（2）；

（3）

【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4．

题型四、平方根的综合应用

例6.若x，y为实数，且满足．求的值．

【变式】若，求的值．

【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：

（1）求a﹣b的值；

（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．

例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片

使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．

（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．

（2）求阴影部分的面积．

【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．

(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；

(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．

题型五：平方根小数点位数移动规律

例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

（1），，，……

，，，……

由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．

（2）已知，，则_____；______．

【变式】如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；

【过关检测】

一．选择题（共7小题）

1．（2022秋?杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）

A．4 B．5 C．6 D．7

2．（2015?下城区校级二模）的平方根（）

A．4 B．2 C．±4 D．±2

3．（2022秋?越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可