数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分.pdf

第十一章反常积分

教学目的：

1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；

2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。

教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛

散性的判别。

教学时数：8学时

§1反常积分概念（2学时）

教学目的：深刻理解反常积分的概念。

教学重点难点：反常积分的含义与性质

一问题的提出:例（P264）.

二两类反常积分的定义

定义1.设函数定义在无穷区间上，且在任何有限

区间上可积，如果存在极限

（1）

则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称

无穷积分），记作,并称收敛.

如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.

定义2.设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内

闭区间上有界且可积，如果存在

极

则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作

并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积

分发散.

例1⑴讨论积分,,的敛散性.

⑵计算积分.

例2讨论以下积分的敛散性:

⑴;⑵.

例3讨论积分的敛散性.

例4判断积分的敛散性.

例5讨论瑕积分的敛散性,并讨论积分的敛散性.

三瑕积分与无穷积分的关系:设函数连续,为瑕点.有

,把瑕积分化成了无穷积分;设,有

，把无穷积分化成了瑕积分.

可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和结果.

§2.无穷积分的性质与收敛判定（2学时）

教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。

教学重点难点：反常积分敛散性的判别。

一无穷积分的性质

⑴在区间上可积,—Const,则函数在区间

上可积,且.

⑵和在区间上可积,在区间上可

积,且.

⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:

Th积分收敛.

⑷绝对收敛与条件收敛:定义概念.

绝对收敛收敛,(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分.

二比较判别法

非负函数无穷积分判敛法:对非负函数,有↗.非负函数无穷

积分敛散性记法.

⑴比较判敛法:设在区