四川省遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

四川省遂宁市遂宁中学2024-2025高二上开学考

数学试卷

试卷满分：150分考试时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则（????）

A． B． C． D．

2．（????）

A． B． C． D．

3．函数的定义域为（????）

A． B．

C． D．

4．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则α//β

5．为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（??）

A． B．

C． D．

6．已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos〈a＋b，a－b〉＝（）

A． B． C． D．

7．如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（????）

A． B．

C． D．

8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（????）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）

A． B．

C． D．

10．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（????）

A．已知，，则

B．如果，那么

C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则

D．已知或，，则或

11．如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点.则（????）

A． B．点???四点共面

C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．设集合，，那么“”是“”的条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要）.

13．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是.

14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是m.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）计算：；

（2）已知，求的值.

16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；

(2)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．

17．如图，在正三棱柱中，，D为棱BC的中点．

(1)证明：∥平面；

(2)求点到平面的距离．

18．在中，角所对的边分别，已知且.

(1)求角的大小；

(2)若是的中点，，求面积的最大值.

19．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中.

(1)求，并说明的实际意义：

(2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

1．B

【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.

【详解】由题意可得，

则.

故选：B.

2．C

【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.

【详解】；

；

原式

.

故选：C

3．B

【分析】根据函数的解析式，列出关于的不等式组，求出解集即可．

【详解】解：因为，则，解得，所以所求函数的定义域为．

故选：B

4．C

【分析】AB可举出反例，C选项，由线面垂直的定义得到结论；D选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D错误.

【详解】若，不妨设m在内的投影为，则，

对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直，

n可能